Límites en el infinito

Question

Estoy trabajando con límites en el infinito y me topé con este ejercicio donde quiero evaluar el límite indicado:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x}$$

Traté de solucionarlo haciendo lo siguiente:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2} \sqrt{1-\frac{2}{x}}-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \sqrt{1-\frac{2}{x}}-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}}-1}$$

Pero la respuesta debe ser $-1$, así que lo que hice debe estar mal. ¿Como evaluas este límite de la mejor manera posible?

Answer 1

Sugerencia: $$\frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x}\cdot\frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{\sqrt{x^2-2x}+x}$ $

Answer 2

Los puntos que podemos agregar al post de Adi son:

$$\frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x}\times\frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{\sqrt{x^2-2x}+x}=\frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{(x^2-2x)-x^2}=\color{blue}{\frac{|x|\sqrt{1-2/x}+x}{-2x}}$$ Now if $x\to+\infty$ so $|x|=x$ and so $$\color{blue}{\frac{|x|\sqrt{1-2/x}+x}{-2x}}=\frac{x\sqrt{1-2/x}+x}{-2x}=\frac{x\times \sqrt{1-0}+x}{-2x}\longrightarrow -1$$ And if $x\to-\infty$ so $|x|=-x$ and so $$\color{blue}{\frac{|x|\sqrt{1-2/x}+x}{-2x}}\longrightarrow 0$$

Answer 3

Lo que hiciste es correcto pero no vayas hasta el final.

Sabes que, cuando $y$ es pequeño, $\sqrt{1-y}$ $1 - y /2$ (este es el comienzo de la serie de Taylor); por lo tanto, el denominador de la última fracción se aproxima por: $(1 - 2 / (2 x) - 1) = - 1 / x$.

Dividiendo el numerador por este último resultado da el límite de $-1$ estaban esperando.