¿Estimación de parámetros de Box-Cox cuenta hacia parámetros de AIC?

Question

Supongamos que tengo un modelo de regresión, por ejemplo, con 2 parámetros

$y = ax + b$

Pero los datos no son normales, así que antes de regresión de transformar ambos lados con Box-Cox de estimación. Por lo tanto tengo dos Box-Cox parámetros, $\lambda_x$$\lambda_y$.

Ahora quiero calcular AIC para este modelo. Cuántos parámetros existen?

Mi instinto sería que $\lambda_y$ cuenta como un parámetro pero no $\lambda_x$, debido a que si el modelo se aplica a la previsión $y$ a partir de $x$, $\lambda_x$ puede ser estimada en cualquier momento a partir de la disposición a$x$, pero tenemos que recordar que $\lambda_y$ a uso como no sabemos el $y$ estamos tratando de predecir.

Answer 1

Escribir $p_\lambda(x)$ para el de Box-Cox transformación de $x$ con el parámetro $\lambda$, $-\infty\lt\lambda\lt\infty$. El pleno del modelo de datos de $(x_i,y_i)$ donde las respuestas $(y_i)$ son vistos como una realización de un vector aleatorio $(Y_i)$ se describe en la pregunta

$$\mathbb{E}(p_{\lambda_y}(Y_i)) = a + b\, p_{\lambda_x}(x_i).$$

Que explícitamente tiene cuatro parámetros de ${a, b, p_{\lambda_y}, p_{\lambda_x}}$, todos los cuales son identificables siempre hay al menos tres distintos valores de $x_i$ y tres valores distintos de $y_i$. De acuerdo a las respuestas a su pregunta anterior, usted cuenta cuatro parámetros cuando ninguno de los valores se establecen de forma independiente de los datos (y por lo tanto se estima a partir de los datos). Si en lugar de cualquiera de ellos (o ambos) $\lambda_x$ o $\lambda_y$ fueron establecidas en alguna otra forma, por ejemplo, si $\lambda_y$ se calcula a partir de un conjunto de datos separado, entonces no sería contado.

(Dependiendo de la distribución de los supuestos realizados acerca de la $p_{\lambda_y}(Y_i)$, no podría ser más parámetros que intervienen en el ajuste del modelo. Contando con ellos no es afectado por el Box-Cox transformaciones. El uno-a-uno, de propiedad de la Box-Cox de transformación indica que cualquier parámetro que es identificable en la ausencia de la transformación seguirá siendo identificable cuando la transformación se aplica.)

Answer 2

¿Por qué te la transformación de los datos?

Qué escala están preguntando a sus preguntas? Si no es la transformada de escala, entonces hay la cuestión de la parametrización.

Un ejemplo podría ayudar. Supongamos que algunos de respuesta $Y \sim \log N(\mu, \sigma)$, y desea comparar $Y$ a través de dos poblaciones independientes. Supongamos, además, que la cuestión de interés es, "Son los medios iguales en estas poblaciones?" Lo lógico en este caso es analizar $\log y_{ij}$ y la estimación de $\mu_1 - \mu_2$.

Que no iba a responder a la pregunta, sin embargo. $E\{Y_i\} = \exp (\mu_i+\sigma_i)$. Lo que usted necesita es un intervalo de confianza en $\mu_1-\mu_2 + \sigma_1-\sigma_2$.

Ahora, si en realidad usted está interesado en las cosas en la escala transformada nada de esto se aplica. Que sucede: los químicos y ambientales, los científicos están interesados en el pH (hasta el punto de medir el pH en lugar de $H^+$ concentraciones.)