¿Hace racionalidad de $\cosh(nx)$ y $\cosh((n+1)x)$ implican racionalidad de $\cosh(x)$?

Question

Supongamos que $x\in\mathbb{R}^+$ y $n\in \mathbb{N}$. ¿Si $\cosh(nx)$ y $\cosh((n+1)x)$ son racionales, podemos mostrar que $\cosh(x)$ es racional también?

Supongo que las igualdades siguientes deben ser útiles:

$$\begin{eqnarray} \cosh(x) &=& \cosh((n+1)x−xn)\\ &=& \cosh((n+1)n).\cosh(nx) − \sinh((n+1)x).\sinh(nx)\\ &=& \cosh((n+1)n).\cosh(nx) − \sqrt{\cosh^2((n+1)x) − 1}.\sqrt{\cosh^2(nx) − 1}. \end{eqnarray} $$

Answer 1

Suponga que tiene un $u>1$ tanto $u^n+u^{-n}$ $u^{n+1} + u^{-n-1}$ son racionales.

A continuación, $u^n$ satisface la ecuación con coeficientes racionales $(T - u^n)(T-u^{-n}) = T^2 - (u^n + u^{-n})T + 1 = 0$, lo $u^n$ es algebraica y su posible sólo conjugado ( $\Bbb Q$ )$u^{-n}$.

Del mismo modo, $u^{n+1}$ es algebraica y su posible sólo conjugado es $u^{-n-1}$.

Ahora, $u = u^{n+1}/u^n$, lo $u$ es algebraica y su posible sólo conjugados son entre $u^{-1},u^{2n+1},u^{-2n-1}$.

Si $u^{2n+1}$ realmente es un conjugado de $u$, entonces también lo es $u^{(2n+1)^2}$. Pero desde $u^{(2n+1)^2}$ es mayor que cualquiera de $u,u^{-1},u^{2n+1},u^{-2n-1}$, esto es imposible.

Por lo tanto, $u$ sólo tiene un posible conjugado ($u^{-1}$), y por lo $u+u^{-1}$ es racional.

Tomando $u = \exp x$, esto demuestra que si $\cosh (nx)$ $\cosh((n+1)x)$ son racionales, $\cosh x$ es racional.

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Usted puede fácilmente generalizar esto para mostrar que si $n,m$ son enteros positivos y $\cosh (nx)$ $\cosh((n+m)x)$ son racionales y, a continuación, $\cosh(mx)$ es racional

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De hecho, ya podemos ver $\cosh(nx)$ como polinomios en $\cosh(x)$, podemos interpretar $\Bbb Q(\cosh(nx),\cosh((n+1)x)$ como un subcampo de la $\Bbb Q(\cosh x)$. Luroth del teorema muestra que este subcampo es $\Bbb Q(\cosh x)$ sí, por lo que no es una fracción racional $f_n$ en dos variables con coeficientes racionales tales que $\cosh(x) = f_n(\cosh(nx),\cosh((n+1)x)$.

Esto implica inmediatamente que para casi todos los $x \in \Bbb C$, $\cosh(x) \in \Bbb Q(\cosh(nx),\cosh((n+1)x)$ (hay un número finito de excepciones en las que el denominador y el numerador de $f_n$ a desaparecer y $\cosh x$ puede estar en un mayor campo).