¿Es la adición usual de números enteros?

Question

¿Si definimos un anillo en el % de enteros $\mathbb Z$(es decir, $(\mathbb Z, +,\times)$) y equiparlo con la operación de $\times$ habitual para $\mathbb Z$, es necesario que el funcionamiento de $+$ sea también el habitual $+$?

Answer 1

El monoid $(\mathbb Z\setminus\{0\},\times)$ es isomorfo a la suma directa de $\mathbb Z_2\oplus\bigoplus\limits_{\text{countable}}\mathbb N_0$ de un grupo cíclico de orden $2$ y un contable número de copias de $\mathbb N_0$. De ello se deduce que tiene un montón de automorfismos: podemos permutar los números primos de forma arbitraria.

Si $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z$ es cualquier automorphism que no es la identidad, entonces obtenemos una estructura de anillo en él mediante la definición de una nueva suma $a+'b=\phi^{-1}(\phi(a)+\phi(b))$. El una cantidad no numerable de los anillos de esta manera son naturalmente isomorfos a la habitual $\mathbb Z$, pero todos diferentes.

Más tarde. Una dirección diferente, se puede ir es el siguiente:

El polinomio anillo de $\mathbb F_3[X]$ es un director ideal de dominio con countably una cantidad infinita de números primos y exactamente dos invertible elementos, por lo que su monoid de cero elementos es isomorfo a $(\mathbb Z\setminus\{0\},\times)$. No es entonces un bijection $f:\mathbb F_3[X]\to\mathbb Z$ asignación de cero a cero, lo que es un isomorfismo de monoids en los complementos de los cero elementos. Podemos definir una adición en $\mathbb Z$ por el transporte de la de $\mathbb F_3[X]$ a lo largo de $f$. Esto convierte a $\mathbb Z$ en un anillo de carácter $3$ :)