El problema a través de la paradoja de Cantor ya se ha señalado. Es el caso también de las que la más común de las teorías de demostrar la existencia de "el conjunto de todos los $x\in A$ tal que $x\notin x$". Si $A$ es el universo, entonces hay un conjunto $R$ que contiene cada conjunto que no es un miembro de sí misma; pero $R\in R \iff R\notin R$, lo cual es una paradoja (Russell, específicamente).
Más trivial, común conjunto de teorías aceptar el Axioma de Fundación, lo que implica que no puede ser miembro de sí misma. Pero un conjunto que contiene cada conjunto debe tener en sí mismo como un miembro.
Hay, como alguien que se menciona en el post enlazado en los comentarios, conjunto coherente de teorías con conjuntos universales, pero estas teorías deben rechazar cada una de Fundación, la existencia de $\{x: x\in A \wedge x\notin x\}$ todos los $A$, y el Cantor del teorema que $A < \mathcal{P}(A)$. Las consecuencias del axioma de sistemas que refutar estas en favor de la existencia de un universo puede ser contrario a la intuición o engorroso; Alarmada una función binaria puede que no funcione en $\mathsf{NFU}$ o de complementación puede que no funcione en $\mathsf{GPK}$.
