Me gustaría una segunda parte de Qiaochu del Yuan respuesta: la recomendación de leer el libro de Polya. A diferencia de muchos otros libros que he visto (aunque ninguno de los otros que se recomienda más arriba), que en realidad no contienen una guía sobre cómo construir una prueba "de la nada".
Y eso es un problema con el "practicar, practicar, practicar el" mantra. Practicar qué? Donde están las listas de similar-pero-no-muy-cosas idénticas a probar a practicar? Me pueden encontrar listas de las integrales de hacer y listas de matrices para resolver, pero es difícil subir con listas de cosas para probar.
Por supuesto, la práctica es correcta. Pero al igual que con cualquier otra cosa en matemáticas, hay pautas para ayudarle a empezar.
Lo primero es darse cuenta de que la lectura de otras pruebas no está garantizado para darle alguna idea de cómo la prueba se ha desarrollado. Una prueba está destinada a convencer a alguien de un resultado, por lo que una puntos de prueba para el teorema (o lo que sea) y saber cómo la prueba fue construido no (o al menos no debería) prestar cualquier peso extra a nuestra confianza en el teorema. Las pruebas pueden ser escritas en este camino, y cuando la enseñanza que debe asegurarse de presentar algunas pruebas de esta manera, pero para hacerlo cada vez sería tedioso.
Así que, ¿cuáles son las pautas para la construcción de una prueba? Usted probablemente va a obtener diferentes respuestas de diferentes matemáticos por lo que estos deben ser interpretados como mi opinión y no un(n intento de) respuesta definitiva.
Mi recomendación es que se tome la declaración de que quieren demostrar y aplicar los siguientes pasos para él tan a menudo como usted puede:
- Expanda fuera de términos no familiares.
- La sustitución de declaraciones genéricas por las declaraciones acerca de objetos genéricos.
- Incluyendo la información implícita.
Una vez que hayas hecho todo eso, la esperanza es que la prueba va a ser mucho más clara.
He aquí un ejemplo.
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Original de la declaración:
La composición de transformaciones lineales es de nuevo lineal.
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Reemplazar declaraciones genéricas:
Si $S$ $T$ son dos componibles transformaciones lineales, a continuación, su composición, $S T$, de nuevo es lineal.
Es importante ser preciso aquí. La palabra "extensible" podría haber sido dejado de lado, como la declaración sólo tiene sentido si $S$ $T$ son componibles, pero hasta que esté completamente familiarizado con este tipo de proceso, es mejor ser excesivamente precisa de lo contrario. En este caso, dejando en la palabra "extensible" nos recuerda que hay una restricción en los dominios y codomains que será útil más adelante. (Sin embargo, uno tiene que trazar la línea en alguna parte: incluso la palabra "extensible" no es suficiente, ya que deja abierta la cuestión de si es $S T$ o $T S$!)
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Incluir la información implícita:
Si $S \colon V \to W$ $T \colon U \to V$ son transformaciones lineales, a continuación, $S T \colon U \to W$ es de nuevo lineal.
Aquí es donde recordar que $S$ $T$ son componibles en el paso anterior ayuda a mantener las cosas en claro. Como $S$ $T$ son componibles, sólo necesitamos $3$ espacios vectoriales. Entonces, ya que explícitamente tienen los espacios vectoriales el hecho de que $S$ $T$ son componibles es simple, aunque algunos prefieren mantener que el hecho de que en la declaración. También, a algunos les puede gustar tener el hecho de que $U$, $V$, y $W$ son vectoriales espacios de forma explícita.
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Ampliar las definiciones de:
Si $S \colon V \to W$ $T \colon U \to V$ son tales que $S(v_1 + \lambda v_2) = S(v_1) + \lambda S(v_2)$ $T(u_1) + \mu T(u_2)$ para todos los $v_1, v_2 \in V$, $u_1, u_2 \in U$, y $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, $S T(x_1 + \eta x_2) = S T(x_1) + \eta S T(x_2)$ todos los $x_1, x_2 \in U$$\eta \in \mathbb{R}$.
Tenga en cuenta que he tenido cuidado de no repetirme con el recientemente introducido símbolos. Sería técnicamente muy bien para la reutilización de las $u_1$ $u_2$ en lugar de $x_1$ $x_2$ ya que estos son locales declaraciones (restringido por las frases "para todos ..."). Sin embargo, los seres humanos no son buenos en la diferenciación entre lo local y lo global declaraciones por eso es mejor no reutilizar los símbolos, a menos que el alcance es muy claro.
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Reemplazar declaraciones genéricas:
Si $S \colon V \to W$ $T \colon U \to V$ son tales que $S(v_1 + \lambda v_2) = S(v_1) + \lambda S(v_2)$ $T(u_1) + \mu T(u_2)$ para todos los $v_1, v_2 \in V$, $u_1, u_2 \in U$, y $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, siempre que $x_1, x_2 \in U$ y $\eta \in \mathbb{R}$, $S T(x_1 + \eta x_2) = S T(x_1) + \eta S T(x_2)$.
Hasta ahora, la frase no ha tenido en cuenta el hecho de que no es una conclusión y una hipótesis. Esta frase se modifica una parte de la conclusión para pasar de una genérica declaración "$P(p)$ es cierto para todos los $p \in Q$" a una declaración acerca de un objeto genérico "siempre $p \in Q$ $P(p)$ es verdadero". No hacemos esto por las declaraciones similares en la hipótesis. Esto es debido a que estas dos piezas son tratadas de manera diferente en la prueba.
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Reemplazar declaraciones genéricas, y reorganizar a traer opciones a la palestra:
Deje $S \colon V \to W$ $T \colon U \to V$ ser tal que $S(v_1 + \lambda v_2) = S(v_1) + \lambda S(v_2)$ $T(u_1) + \mu T(u_2)$ para todos los $v_1, v_2 \in V$, $u_1, u_2 \in U$, y $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Deje $x_1, x_2 \in U$$\eta \in \mathbb{R}$. A continuación,$S T(x_1 + \eta x_2) = S T(x_1) + \eta S T(x_2)$.
De esta forma, la distinción entre hipótesis y conclusión está todo más claro. Partes de la hipótesis de utilizar la palabra "Vamos", partes de la conclusión de utilizar la palabra "Entonces".
Con esta formulación, la prueba esencialmente escribe a sí mismo. Con todos sus detalles escabrosos:
Prueba
Deje $S \colon V \to W$ $T \colon U \to V$ ser tal que $S(v_1 + \lambda v_2) = S(v_1) + \lambda S(v_2)$ $T(u_1) + \mu T(u_2)$ para todos los $v_1, v_2 \in V$, $u_1, u_2 \in U$, y $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Deje $x_1, x_2 \in U$$\eta \in \mathbb{R}$.[^rápido], Entonces:
$$
S T(x_1 + \eta x_2) = S \big( T(x_1) + \eta T(x_2)\big)
$$
utilizando la hipótesis de $T$$x_1, x_2 \in U$$\eta \in \mathbb{R}$. Así:
$$
S T(x_1 + \eta x_2) = S T(x_1) + \eta S T(x_2)
$$
utilizando la hipótesis de $S$$T(x_1), T(x_2) \in V$$\eta \in \mathbb{R}$. Por lo tanto la conclusión es verdadera.
Notas:
1. Esto podría ser condensada, pero lo importante aquí es cómo encontrar , no lo que la forma final debe ser.
2. Aviso que escribí "como $x_1, x_2 \in U$" en lugar de "con $u_1 = x_1$$u_2 = x_2$". Esto es en parte el estilo, y en parte porque en la declaración de la linealidad, $u_1$ $u_2$ son marcadores de posición en el que ponemos a$x_1$$x_2$. Así diciendo $u_1 = x_1$ es semánticamente incorrecta, ya que equivale virtual de un vector con un vector real. Este es un punto menor, aunque.
Por último, me gustaría estar en desacuerdo con una parte de Qiaochu la respuesta. De hecho, me gusta la imagen de una trampa de acero. Una prueba es un poco como una trampa: queremos capturar el teorema en una trampa por lo que no puede zafarse. Construimos la prueba de lo que no hay ninguna posibilidad de escapar. Finalmente, sí, queremos que la prueba para ser hermoso, pero cuando se construyó por primera vez sólo queremos que sea para hacer el trabajo. Sólo una vez que el teorema es atrapado podemos pasar un poco de tiempo la decoración de la jaula para que se vea bonito y a su mejor ventaja. A fin de construir la trampa porque teoremas puede ser peligroso! Un escapó teorema puede hacer un daño incalculable, se alborotan en todo el campo, la colocación de los desechos como un desenfrenado viking.
(Bueno, no del todo, finalmente. El paso-por-paso la prueba anterior fue tomando de una página que escribí para mis alumnos sobre la naturaleza de la prueba. El original se puede encontrar aquí.)
