Equivalencia de homotopía entre algunos espacios basados en esfera (cociente de esferas, Ramos de esferas, diferencia de esferas)

Question

Me gustaría probar las siguientes equivalencias ($k < n$):

1. $S^n / S^k \sim S^n \vee S^{k+1}$;
2. $S^n \backslash S^k \sim S^{n-k-1}$.

Bajo la dimensión de los casos (por ejemplo,$S^2 / S^0$, $S^2 / S^1$, $S^n / S^1$, $S^2 \backslash S^1$) son completamente evidentes. Hay alguna forma de probar que para arbitrario de dimensiones?

He estado tratando de desarrollar los enfoques basados en la inducción matemática (por $k = 0,1,\dots$) y la representación esferas como el cociente de los espacios ($S^n \sim D^n / S^{n-1}$). Por desgracia, todos estos intentos no para mí: yo no podía lograr cualquier simplificación importante que me trae más cerca de la solución. Alguna sugerencia?

Answer 1

He aquí una prueba geométrica de la declaración de $1$. Jim Belk ya ha dado una rigurosa prueba junto con una prueba de $2$, pero creo que esta es la pena un tiro.

Para un determinado espacio topológico $X$, $\Sigma X$ (llama la suspensión de $X$) es el espacio de $X \times [1, -1]/\sim$ donde $\sim$ se identifica la $X \times \{1\}$ copia a un punto y el $X\times \{-1\}$ copiar a otro punto.

Presumo $S^k$ está incrustado en una forma estándar en $S^n$. Si es el caso, $S^n$ puede ser pensado fuera como $S^k$ suspendido $n-k$ veces. Así que primero suspender $S^k$ una vez para obtener los $S^{k+1}$, y suspender en que para obtener $S^{k+2}$, y así sucesivamente, hasta que finalmente se ha $S^n$, con cada una de las $S^i$ siendo el ecuador de $S^{i+1}$.

$1.$ $S^k$ es el ecuador dentro de $S^{k+1} \cong \Sigma(S^k)$, que a su vez es el ecuador de $S^{k+2} \cong \Sigma(\Sigma(S^k))$. $\Sigma(S^k)/S^k$ a continuación, se homeomórficos a $S^{k+1} \vee S^{k+1}$. Por lo $\Sigma(\Sigma(S^{k+1}))/S^k$ es el espacio con el ecuador sustituido adecuadamente por $S^{k+1} \vee S^{k+1}$. Como $S^{k+1} \vee S^{k+1}$ es homotopy equivalente a $S^{k+1}$ $(k+1)$- celular pegado a la línea ecuatorial, $\Sigma(\Sigma(S^k))/S^k$ es homotopy equivalente a $S^{k+2}$ $(k+2)$- celda adjunta a lo largo de un $(k+1)$-esfera en la superficie, que es a su vez homotopy equivalente a $S^{k+2} \vee S^{k+1}$. Continuar así hasta que $S^n$, por lo que el resultado del cociente de la $S^n/S^k$ hace $S^n \vee S^{k+1}$.

He aquí un esbozo de la forma en que podría hacerlo, con la esfera, se $S^{k+2}$, con ecuador $S^{k+1}$ y ecuador de que a su vez es $S^k$. La identificación de $S^k$ a un punto es la misma que la fijación de un $(k+1)$-disco a lo largo de la frontera, y una de las diapositivas que $(k+1)$-disco, de modo que el espacio se convierte en (modulo homotopy equivalencia) $S^{k+2} \vee S^{k+1}$ (el pequeño bucle en realidad es un boceto de $S^{k+1}$). El espacio de $X$, después de quotienting, no es sino $S^n$ con ese pequeño bucle que salen.

Answer 2

Los siguientes dos teoremas se ha comprobado en el capítulo 0 de Hatcher Topología Algebraica.

Teorema 1. Si $X$ es un CW complejo y $A$ es un contráctiles subcomplejo, a continuación, $X/A$ es homotopy equivalente a $X$.

Teorema 2. Deje $X$ ser un CW complejo, y deje $A$ ser un subcomplejo de $X$. Si $Y$ es un espacio topológico y $f,g\colon A\to Y$ son homotópica mapas, a continuación, $X\cup_f Y$ es homotopy equivalente a $X\cup_g Y$

Aquí es un buen corolario

Corolario. Deje $X$ ser un CW complejo, y deje $A$ ser un subcomplejo. Entonces

1. $X/A$ es homotopy equivalente a $X\cup_A CA$ donde $CA$ es el cono en $A$.

2. Si la inclusión del mapa de $A\to X$ es nullhomotopic, a continuación, $X/A$ es homotopy equivalente a $X\lor SA$ donde $SA$ es la suspensión de la $A$.

Prueba: (1), se observa que la $CA$ es un contráctiles subcomplejo de $X\cup_A CA$. Por el Teorema 1, se sigue que $X\cup_A CA$ es homotopy equivalente a $(X\cup_A CA)/CA$, que es homeomórficos a $X/A$.

Para (2), vamos a $f\colon A\to X$ ser la inclusión, y deje $g\colon A\to X$ ser una constante mapa. A continuación, $f$ $g$ son homotópica, por lo $CA \cup_f X$ es homotopy equivalente a $CA \cup_g X$ por el Teorema 2. El primero es $X\cup_A CA$, y el último es $X\lor SA$.$\quad\square$

De ello se desprende que $S^n/S^k$ es homotopy equivalente a $S^n \lor S(S^k) = S^n\lor S^{k+1}$ siempre $k<n$ donde $S^k$ denota cualquier $k$-esfera que puede ser expresado como un subcomplejo de $S^n$ con respecto a algunas de las CW de la estructura. Esto demuestra la declaración (1).

Para la instrucción (2), cabe recordar que la $S^n$ es homeomórficos al unirse a $S^k * S^{n-k-1}$ donde $S^k$ es la canónica copia de$S^k$$S^n$. A continuación, $S^n - S^k$ deformación se retrae en $S^{n-k-1}$ en una manera obvia. Tenga en cuenta que esto sólo demuestra la declaración canónica de la copia de $S^k$ $S^n$ -- no es cierto arbitrarias de copias de de $S^k$. Por ejemplo, el complemento de un anudado círculo en $S^3$ no es homotopy equivalente a $S^1$.