Automorfismo de grupo libre

Question

Deje $\mathbb{F}_2$ ser el grupo libre de rango $2$ con generadores $a$$b$. Me gustaría construir un automorphism $\varphi$ $\mathbb{F}_2$ tal forma que :

1) $\varphi([a,b]) = [a,b]$

2) $\overline{\varphi}$ la inducida por la aplicación en el abelianization de $\mathbb{F}_2 \simeq \mathbb{Z}^2$ es la identidad.

Para cualquier $n \in \mathbb{Z}$ la conjugación por $[a,b]^n$ hace el truco. Me preguntaba si alguna de dichas $\varphi$ debe ser de esta forma.

(Esta pregunta está relacionada con el estudio de los elementos de la Torrelli grupo de una superficie cerrada que actúa sólo en un incrustadas $1$-orificios de toro).

Answer 1

La principal referencia es la "Cartilla en la asignación de grupo de clase" por Farb y Margalit. El punto es que para una vez perforado el toro abelianization de el grupo fundamental, que define un isomorfismo de la clase de asignación de grupo a $GL(2,Z)$. Por lo tanto, bajo el supuesto de la automorphism tiene que ser interior, de la conjugación por algún elemento $g$ de la libre grupo. Ahora, el uso de la suposición de que se envía a $[a,b]$ a sí mismo. Esto significa que $g$ centraliza el colector. Por último, el colector es representado por un circuito simple, por lo tanto, se genera un máximo cíclico de los subgrupos.