Hay una suposición de conmutatividad al acecho, es decir, en las equivalencias dadas. E. g., el trivial ideal es máxima en el anillo de $n\times n$ matrices con coeficientes en un campo, pero el anillo no es un campo si $n\gt 1$.
Para los no-conmutativa anillos con identidad, recordemos que un ideal $P$ es un primer ideal si y sólo si para cualesquiera dos ideales $A$ $B$ si $AB\subseteq P$ $A\subseteq P$ o $B\subseteq P$. (Esto es equivalente al elemento sabio condición en la conmutativa anillos, pero para no conmutativa de los anillos, el elemento sabio condición es más fuerte; tales ideales son llamados "completamente prime").
Para mostrar que un ideal maximal debe ser un primo, vamos a $\mathfrak{M}$ ser un ideal maximal. Nos muestran que si $A$ $B$ son ideales y ni está contenida en $\mathfrak{M}$, entonces su producto no está contenido en $\mathfrak{M}$.
Si $A$ no está contenido en $\mathfrak{M}$, luego por maximality tenemos $A+\mathfrak{M}=R$. Del mismo modo, $B+\mathfrak{M}=R$. Por lo tanto,
$$R = RR = (A+\mathfrak{M})(B+\mathfrak{M})=AB + A\mathfrak{M} + \mathfrak{M}B + \mathfrak{M}^2 \subseteq AB+\mathfrak{M}\subseteq R.$$
Por lo tanto, $AB+\mathfrak{M}=R$, lo $AB$ no está contenido en $\mathfrak{M}$, como se reivindica. Por lo tanto, si $\mathfrak{M}$ es maximal, entonces es primo.
Por supuesto, esta prueba funciona igual de bien para conmutativa de los anillos, y no requiere la equivalencia a través de la estructura de los cocientes.
Para completelyness:
La proposición. Deje $R$ ser un anillo con identidad, y deje $\mathfrak{P}$ ser un ideal.
Si para cada a $a$ $b$ en $R$, $ab\in \mathfrak{P}\Rightarrow a\in\mathfrak{P}\text{ or }b\in\mathfrak{P}$, a continuación, $\mathfrak{P}$ es un alojamiento ideal (si $A,B$ son ideales y $AB\subseteq \mathfrak{P}$, $A\subseteq \mathfrak{P}$ o $B\subseteq \mathfrak{P}$).
Si $R$ es conmutativa, entonces el opuesto de (1) también se mantiene.
Prueba.
Vamos $A$, $B$ ser ideales que $AB\subseteq \mathfrak{P}$; si $A\subseteq\mathfrak{P}$ hemos terminado. De lo contrario, deje $a\in A$ tal que $a\notin \mathfrak{P}$. A continuación, para cada $b\in B$ tenemos $ab\in AB\subseteq\mathfrak{P}$, por lo tanto $ab\in\mathfrak{P}$. Por nuestra suposición, $b\in\mathfrak{P}$. Por lo tanto, $B\subseteq \mathfrak{P}$, como se reivindica.
Suponga $R$ es conmutativa y que para cualquier ideales $A$, $B$, si $AB\subseteq \mathfrak{P}$, $A\subseteq \mathfrak{P}$ o $B\subseteq \mathfrak{P}$. Deje $a,b\in R$ ser tal que $ab\in \mathfrak{P}$. A continuación,$(a)(b) = (ab)\subseteq \mathfrak{P}$, lo $(a)\subseteq \mathfrak{P}$ o $(b)\subseteq\mathfrak{P}$. Por lo tanto cualquiera de las $a\in \mathfrak{P}$ o $b\in\mathfrak{P}$, como se reivindica. $\Box$
La asunción de la conmutatividad en 2 está detrás de la igualdad de $(a)(b)=(ab)$. En un no conmutativa anillo, $(a)$ se compone de todas las sumas de los elementos de la forma$ras$$r,s\in R$, y del mismo modo para $(b)$. El producto será generada por todos los elementos de la forma$rasbt$$r,s,t\in R$, y sin conmutatividad que puede ser capaz de volver a escribir como suma de elementos de la forma $u(ab)v$.
Para un ejemplo de un no conmutativa anillo y un ideal de a $\mathfrak{P}$ que es primo pero no completamente prime, deje $S$ ser el anillo de $n\times n$ matrices sobre un campo $F$. Es conocido que si $R$ es un anillo con identidad, entonces los ideales de $M_n(R)$, el anillo de $n\times n$ matrices de más de $R$ son exactamente de la forma $M_n(\mathfrak{J})$ donde $\mathfrak{J}$ es un ideal de a $R$. Así que si $R=F$ es un campo, entonces la única ideales de $R$ son triviales ideal y todo el campo, por lo que la única ideales de $M_n(R)$ son triviales ideal y el conjunto ideal. Por lo tanto, el cero ideal es principal. Sin embargo, usted puede encontrar un valor distinto de cero divisores de cero en $S$, así que usted puede encontrar los productos de dos elementos que se encuentran en el cero ideal con ni elemento es el elemento cero. De modo que el cero ideal es primo pero no completamente prime.
Para los anillos de sin identidad, las cosas se ponen más molesto. Por ejemplo, consideremos el anillo de $2\mathbb{Z}$ de los números enteros. Un ideal es maximal si y sólo si es de la forma $2p\mathbb{Z}$ para algunos prime $p$. En particular, $4\mathbb{Z}$ es máxima; pero $4\mathbb{Z}$ no es un alojamiento ideal, ya que el $(2\mathbb{Z})(2\mathbb{Z}) \subseteq 4\mathbb{Z}$, pero $2\mathbb{Z}$ no está contenido en $4\mathbb{Z}$. O tomar un anillo con cero de la multiplicación; los ideales corresponden exactamente a los subgrupos de su estructura aditiva, por lo que la máxima ideales que corresponden a la máxima subgrupos. Sin embargo, no hay una buena ideal es primo (en virtud de la definición).
