Ejemplo de infinito campo de la característica $p\neq 0$

Question

Me puede dar un ejemplo de infinito campo de la característica $p\neq0$?

Gracias.

Answer 1

Un ejemplo muy importante de un infinito campo de la característica $p$ es $$\mathbb{F}_p(T)=\left\{\,\frac{f}{g}\,\Bigg|\,\,\,f,g\in\mathbb{F}_p[T], g\neq0\right\},$$

las funciones racionales en la indeterminada $T$ con coeficientes en $\mathbb{F}_p$ (el símbolo $\mathbb{F}_p$ es sólo un sinónimo de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$). En otras palabras, estos son cocientes de polinomios en $\mathbb{F}_p[T]$; esta es la misma construcción como la que usamos para hacer $\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$. El campo $\mathbb{F}_p(T)$ es infinito porque, por ejemplo, contiene $1$, $T$, $T^2$, $\ldots$, y es de carácter $p$ porque contiene $\mathbb{F}_p$ (como alternativa, debido a que el núcleo de el anillo único homomorphism $\mathbb{Z}\to\mathbb{F}_p(T)$$p\mathbb{Z}$.)

Otro ejemplo importante es $\overline{\mathbb{F}_p}$, el algebraicas cierre del campo finito $\mathbb{F}_p$. Si usted acepta, por el momento, que cada campo tiene una expresión algebraica de cierre (que no es ciertamente una afirmación obvia), entonces el hecho de que no hay finito algebraicamente cerrado campos significa que la clausura algebraica de un campo de característica $p$ tendrá que ser un infinito campo de la característica $p$.

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Michael Hardy plantea algunas buenas preguntas a continuación.

• Es uno de $\mathbb{F}_p(T)$, $\overline{\mathbb{F}_p}$ un subcampo de la otra?
• Es $\mathbb{F}_p(T)$ algebraicamente cerrado?
• ¿Cuál es la relación entre estos dos campos?

Estas preguntas están relacionadas. En primer lugar, debemos buscar en las definiciones de elemento algebraico, algebraica de extensión, algebraicamente cerrado de campo, y algebraicas de cierre.

• Dado un campo $K$, y otro campo $L$ contiene $K$ (es decir, $L\supseteq K$), decimos que $\alpha\in L$ es un elemento algebraico sobre $K$ (o, para abreviar, sólo que "$\alpha$ es algebraico sobre $K$") cuando existe alguna (no-cero) $f\in K[x]$ tal que $f(\alpha)=0$. Si $\alpha\in L$ es no algebraicas sobre $K$, podemos decir que es trascendental $K$. Wikipedia presenta la siguiente (estándar) ejemplos:

  • $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$, debido a que hay un no-cero del polinomio $f\in\mathbb{Q}[x]$ (es decir, $f$ ha racional de los coeficientes) de forma tal que $f(\sqrt{2})=0$; podríamos tomar a $f=x^2-2$ o $f=3x^3-6x$, o cualquier otro polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ $\sqrt{2}$ como una raíz.
  • $\pi\in\mathbb{R}$ es trascendental $\mathbb{Q}$, porque no hay ninguna que no sea cero polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ $\pi$ como una raíz; en otras palabras, $\pi$ cumple no algebraicas relación con los números racionales.
  • Sin embargo, $\pi$ es algebraico sobre $\mathbb{R}$, debido a que hay muchos fácil ejemplos de no-cero polinomios en $\mathbb{R}[x]$ $\pi$ como una raíz - en primer lugar, $x-\pi$. (Dado cualquier campo $K$ cualquier $\alpha\in K$ es algebraico sobre $K$ porque $x-\alpha$ es un polinomio en a $K[x]$ tener $\alpha$ como una raíz. Esto demuestra la importancia de la especificación algebraica (o trascendental) sobre el campo.)

• La instalación de dos campos de $K$$L$,$L\supseteq K$, se conoce como una extensión de campo. Nos referimos a la extensión como una sola entidad por la expresión $L/K$ (esto es , no un cociente como este o este, aunque). Una extensión de $L/K$ es una extensión algebraica cuando todos los $\alpha\in L$ es algebraico sobre $K$.

• Un campo de $K$ es algebraicamente cerrado cuando no sea constante $f\in K[x]$ (es decir, $f$ es un polinomio de grado $\geq 1$) tiene una raíz en $K$. El requisito de que la raíz está en $K$ es la clave de la propiedad. Por ejemplo, cualquier no-constante polinomio $f\in\mathbb{R}[x]$ tiene una raíz, pero algunos de ellos (por ejemplo,$x^2+1$) no tiene raíces que se encuentran actualmente en $\mathbb{R}$; por lo tanto $\mathbb{R}$ no es algebraicamente cerrado. (El hecho de que $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado se refiere a menudo como el Teorema Fundamental del Álgebra).

• Dado cualquier campo $K$, existe una extensión algebraica $L/K$ tal que $L$ es algebraicamente cerrado; $L$ se llama una clausura algebraica de $K$. Es la única hasta el isomorfismo (así se habla a menudo de "la" clausura algebraica de $K$), y escribimos $L=\overline{K}$ o, a veces,$L=K^{\text{alg}}$.

Ahora tenemos los conceptos necesarios para comparar y contrastar $\mathbb{F}_p(T)$$\overline{\mathbb{F}_p}$.

En primer lugar, tenga en cuenta que $T\in\mathbb{F}_p(T)$ es trascendental $\mathbb{F}_p$ - no no no-cero $f\in\mathbb{F}_p[x]$ tal que $f(T)=0$. Esto es realmente lo que originalmente se refería cuando dijo: $T$ es un "indeterminado" - se encuentra en relación con el $\mathbb{F}_p$, tan sólo se han añadido en como símbolo, por lo que la única manera de que podamos conseguir $$a_nT^n+\cdots+a_1T+a_0=0\text{ for }a_i\in\mathbb{F}_p$$ es que si todos los $a_i=0$, por lo que no es distinto de cero polinomio con coeficientes en $\mathbb{F}_p$ tener $T$ como una raíz. De hecho, cualquier elemento de $\mathbb{F}_p(T)$ que no es en sí misma un elemento de $\mathbb{F}_p$ (es decir, cualquier cosa que tenga un $T$) es trascendental $\mathbb{F}_p$, por el mismo argumento - por lo que la extensión $\mathbb{F}_p(T)/\mathbb{F}_p$ es realmente super-duper no algebraicas.

Sin embargo, cada elemento de a $\overline{\mathbb{F}_p}$ es algebraico sobre $\mathbb{F}_p$, debido a que parte de la definición algebraica de cierre que incluye la extensión de $\overline{\mathbb{F}_p}/\mathbb{F}_p$ es algebraico.

Así, si tuviéramos $\mathbb{F}_p(T)\subseteq\overline{\mathbb{F}_p}$, entonces tendríamos trascendental de los elementos dentro de nuestra extensión algebraica $\overline{\mathbb{F}_p}/\mathbb{F}_p$, lo cual es una contradicción.

Por otro lado, si tuviéramos $\overline{\mathbb{F}_p}\subseteq\mathbb{F}_p(T)$, entonces tendríamos que hubo algunos $\frac{f}{g}\in \mathbb{F}_p(T)$ tal que $\frac{f}{g}\notin\mathbb{F}_p$ $\frac{f}{g}\in\overline{\mathbb{F}_p}$ (debido a $\overline{\mathbb{F}_p}$ es infinito y $\mathbb{F}_p$ es finito), y tendrían que ser algebraicas sobre $\mathbb{F}_p$, que también hemos visto es una contradicción.

Por lo tanto, ni $\mathbb{F}_p(T)\subseteq\overline{\mathbb{F}_p}$ ni $\overline{\mathbb{F}_p}\subseteq\mathbb{F}_p(T)$.

También es fácil ver que $\mathbb{F}_p(T)$ no es algebraicamente cerrado; por el bien de la simplicidad, vamos a establecer $K=\mathbb{F}_p(T)$. Si $K$ fueron algebraicamente cerrado, entonces todos los no-constante $f\in K[x]$ tendría una raíz en $K$; pero hay muchos de esos $f$'s que no, por ejemplo, $f=x^2-T$ (recuerde, $T\in K$, de modo que no se produce por la existencia de dos indeterminates; esto es igual a $x^2-2$$\mathbb{Q}[x]$). Si el polinomio $x^2-T$ tenía una raíz $\frac{f}{g}\in K=\mathbb{F}_p(T)$, luego $$\left(\frac{f}{g}\right)^2-T=0$$ $$f^2=Tg^2$$ $$2\cdot\deg(f)=\deg(f^2)=\deg(Tg^2)=1+2\cdot\deg(g)$$ lo cual es una contradicción (no puede tener incluso = impar). Esto se refleja en la habitual prueba de que no hay $\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ tal que $\left(\frac{a}{b}\right)^2=2$, es decir, que $\sqrt{2}$ es irracional; el $\deg$ función es análoga a la 2-ádico función de orden. (Como Pierre-Yves Gaillard señala en los comentarios, esta realidad muestra que $K(T)$ no es algebraicamente cerrado, para cualquier campo de $K$.)

Así que, en resumen, ¿cuál es la relación entre los campos$\mathbb{F}_p(T)$$\overline{\mathbb{F}_p}$? Aparte del hecho de que ambos son extensiones de $\mathbb{F}_p$, no mucho. La extensión de $\mathbb{F}_p(T)/\mathbb{F}_p$ no es algebraica, mientras que la extensión de $\overline{\mathbb{F}_p}/\mathbb{F}_p$ es; de hecho, los únicos elementos que $\mathbb{F}_p(T)$ $\overline{\mathbb{F}_p}$ tienen en común son los $\mathbb{F}_p$ sí. Ambos son extremadamente importantes en álgebra, teoría de números, la geometría algebraica, y ambos fundamental ejemplos de características de $p$ campos.

Answer 2

Otra construcción, a través de una herramienta de la lógica formal: el ultraproduct.

El producto cartesiano de los campos $$P = {\Bbb F}_p\times{\Bbb F}_{p^2}\times{\Bbb F}_{p^3}\times\cdots$$ no es un campo ("no es un modelo de..." ) porque tiene divisores de cero: $$(0,1,0,1,\cdots)(1,0,1,0\cdots)=(0,0,0,0,\cdots).$$ La solución es tomar un cociente: vamos a ser $\mathcal U$ un nonprincipal ultrafilter en $\Bbb N$. Definir $$(a_1,a_2,\cdots)\sim(b_1,b_2,\cdots)$$ cuando $$\{n\in\Bbb N\,\vert\, a_n=b_n\}\in\mathcal U.$$ El cociente $F=P/\sim$ será un infinito campo de la característica $p$.