La sustitución de medio ángulo tangente en ecuaciones diferenciales

Question

\begin{align} y & = \tan\frac\theta2 \\[8pt] \frac{1-y^2}{1+y^2} & = \cos\theta \\[8pt] \frac{2y}{1+y^2} & = \sin\theta \\[8pt] \frac{2\,dy}{1+y^2} & = d\theta \end {Alinee el} esto, la sustitución de medio ángulo tangente, famoso se utiliza en la solución de las ecuaciones de la forma $ \frac{df}{d\theta} = f(\cos\theta,\sin\theta) $$ $f$ Dónde está una función racional. Es decir, se utiliza para encontrar antiderivatives de funciones racionales de seno y coseno.

¿Se utiliza la sustitución de la misma en la solución de cualquier otras, más elaboradas, ecuaciones diferenciales?

Answer 1

De hecho la sustitución de Weierstrass puede tener uso en odas, por ejemplo para transformar una oda linear de la función trigonométrica coeficientes para una oda linear de polinomio función coeficientes cuyo alquiler $u=\sin kx$ o $u=\cos kx$ no puede trabajar.

Por ejemplo $(a_1\sin x+b_1\cos x+c_1)\dfrac{d^2y}{dx^2}+(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2)\dfrac{dy}{dx}+(a_3\sin x+b_3\cos x+c_3)y=0~:$

Que $u=\tan\dfrac{x}{2}$,

Entonces $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{2}\left(\sec^2\dfrac{x}{2}\right)\dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{2}\left(\tan^2\dfrac{x}{2}+1\right)\dfrac{dy}{du}=\dfrac{u^2+1}{2}\dfrac{dy}{du}$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{u^2+1}{2}\dfrac{dy}{du}\right)=\dfrac{d}{du}\left(\dfrac{u^2+1}{2}\dfrac{dy}{du}\right)\dfrac{du}{dx}=\left(\dfrac{u^2+1}{2}\dfrac{d^2y}{du^2}+u\dfrac{dy}{du}\right)\dfrac{u^2+1}{2}=\dfrac{(u^2+1)^2}{4}\dfrac{d^2y}{du^2}+\dfrac{u(u^2+1)}{2}\dfrac{dy}{du}$

$\therefore\left(\dfrac{2a_1u}{u^2+1}-\dfrac{b_1(u^2-1)}{u^2+1}+c_1\right)\left(\dfrac{(u^2+1)^2}{4}\dfrac{d^2y}{du^2}+\dfrac{u(u^2+1)}{2}\dfrac{dy}{du}\right)+\left(\dfrac{2a_2u}{u^2+1}-\dfrac{b_2(u^2-1)}{u^2+1}+c_2\right)\dfrac{u^2+1}{2}\dfrac{dy}{du}+\left(\dfrac{2a_3u}{u^2+1}-\dfrac{b_3(u^2-1)}{u^2+1}+c_3\right)y=0$

$\dfrac{2a_1u-b_1(u^2-1)+c_1(u^2+1)}{u^2+1}\left(\dfrac{(u^2+1)^2}{4}\dfrac{d^2y}{du^2}+\dfrac{u(u^2+1)}{2}\dfrac{dy}{du}\right)+\dfrac{2a_2u-b_2(u^2-1)+c_2(u^2+1)}{u^2+1}\dfrac{u^2+1}{2}\dfrac{dy}{du}+\dfrac{2a_3u-b_3(u^2-1)+c_3(u^2+1)}{u^2+1}y=0$

$(2a_1u-b_1(u^2-1)+c_1(u^2+1))\left((u^2+1)^2\dfrac{d^2y}{du^2}+2u(u^2+1)\dfrac{dy}{du}\right)+2(2a_2u-b_2(u^2-1)+c_2(u^2+1))(u^2+1)\dfrac{dy}{du}+4(2a_3u-b_3(u^2-1)+c_3(u^2+1))y=0$

$(2a_1u-b_1(u^2-1)+c_1(u^2+1))(u^2+1)^2\dfrac{d^2y}{du^2}+2(2a_1u^2-b_1u(u^2-1)+c_1u(u^2+1)+2a_2u-b_2(u^2-1)+c_2(u^2+1))(u^2+1)\dfrac{dy}{du}+4(2a_3u-b_3(u^2-1)+c_3(u^2+1))y=0$