$\lim_{n\rightarrow \infty } \int_{a}^{b}g_{n}(x)\sin (2n\pi x)dx=0$ donde $g_{n}$ es uniformemente Lipschitz

Question

Dejemos que { $g_{n}$ sea una secuencia acotada de funciones sobre $[0,1]$ que es uniformemente Lipschitz. Es decir, existe una constante $M$ (independiente de $n$ ) tal que para todo $n$ , $|g_{n}(x)-g_n(y)|\leq M|x-y|$ para todos $x,y\in [0,1]$ et $|g_{n}(x)|\leq M$ para todos $x\in [0,1]$ . Entonces tengo las siguientes dos preguntas:

(a) demostrar para todo cualquier $0\leq a\leq b\leq 1$ , $$\lim_{n\rightarrow \infty } \int_{a}^{b}g_{n}(x)\sin (2n\pi x)\,dx=0. $$ (b) demostrar que para cualquier $f\in L^{1}[0,1]$ , $$\lim_{n\rightarrow \infty } \int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)\sin (2n\pi x)\,dx=0.$$

Answer 1

Existe un análogo discreto de "integrar por partes para matar el término periódico". A saber, "traducir por medio período y cancelar". Así: $$\int_a^b g_n(x)\sin (2n \pi x)\,dx = - \int_a^b g_n(x)\sin (2n \pi (x+1/(2n))\,dx \\ =- \int_{a+1/(2n)}^{b+1/(2n)} g_n(y-1/(2n))\sin (2n \pi y)\,dy $$ El lado derecho es casi el mismo que $-\int_{a}^{b} g_n(y)\sin (2n \pi y)\,dy$ La discrepancia de los intervalos de integración contribuye $O(1/n)$ y la diferencia de integradas es también $O(1/n)$ debido a la condición de Lipschitz. Conclusión: $\int_a^b g_n(x)\sin (2n \pi x)\,dx = O(1/n)$ .

Te dejo que adaptes esto a (b). Necesitarás el truco habitual de "estimar la diferencia de productos", además del hecho de que la traslación es continua en $L^1$ : $\|f(\cdot)-f(\cdot+1/n)\|_{L^1}\to 0$ como $n\to \infty$ .

Answer 2

He aquí una prueba alternativa de (a):

Desde $g_n$ es Lipschitz, es absolutamente continua, por tanto diferenciable a.e. con $g_n' \in L^1[0,1]$ y $g_n(x) = \int_0^x g_n'(t) dt$ . Sea $\phi(x) = g_n(x) \frac{\cos(2 \pi nx)}{2 \pi n}$ . Tenemos $\phi'(x) = -g_n(x)\sin(2 \pi nx)+g_n'(x) \frac{\cos(2 \pi nx)}{2 \pi n}$ . Entonces $\phi(b)-\phi(a) = \int_a^b \phi'(t) dt$ , lo que da $\frac{1}{n}(g_n(b) \frac{\cos(2 \pi n b)}{2 \pi}-g_n(a) \frac{\cos(2 \pi n a)}{2 \pi}) = - \int_a^b g_n(x)\sin(2 \pi nx) dx + \int_a^b g_n'(x) \frac{\cos(2 \pi nx)}{2 \pi n} dx$ . Reordenando, y utilizando el hecho de que $|g_n(x)| \leq M$ , da $|\int_a^b g_n(x)\sin(2 \pi nx) dx| \leq \frac{1}{2n\pi}(2M+\|g_n'\|_1)$ de la que se desprende el límite deseado (a).