Un tipo de converse para el teorema de la curva de Jordan

Question

El Jordán teorema de la curva de $\mathbb{R}^2$ dice que si $S$ es una curva cerrada en $\mathbb{R}^2$. A continuación, $S$ se divide $\mathbb{R}^2$ en exactamente dos de los componentes conectados a $A$$B$.

Yo estaba pensando en una especie de conversar a este problema que es el siguiente.

Deje $S$ ser cerrado y acotado establece en $\mathbb{R}^2$ y deje $x,y\in\mathbb{R}^2 \setminus S$. Definir

$$A:=\{a\in\mathbb{R}^2 \setminus S: a\text{ and } x \text{ are path connected in } \mathbb{R}^2\setminus S\}$$

$$B:=\{b\in\mathbb{R}^2\setminus S: b\text{ and } y\text{ are path connected in }\mathbb{R}^2 \setminus S\}$$

Si $A\cap B=\emptyset$ ¿ existe un conectada $T\subset S$ tal que $\mathbb{R}^2 \setminus T$ se divide exactamente en dos de los componentes conectados a una que contiene a $A$ y el otro que contiene a $B$.

Cualquier ayuda o referencias sobre este sería muy apreciada

Nota: He hecho una edición para reflejar los comentarios usando el topologists curva sinusoidal. Yo creo que ahora esto no será un contra-ejemplo porque el "cuasi-circle" es obviamente conectado. También me disculpo por no ser más específico originalmente.

Answer 1

Considere la posibilidad de esta variante de la extensión de la topologist de la curva sinusoidal:

(foto prestada de esta pregunta) Es el cierre de la gráfica de la función $x\mapsto \sin(\pi/x)$ definido en la mitad el intervalo de abrir $(0,1]$ con los puntos de $(0,0)$ $(1,0)$ conectados por un arco simple. Es un cerrado y limitado subconjunto $S$$\mathbf R^2$. Su complemento tiene exactamente $2$ ruta sabio de los componentes conectados, pero no hay una simple curva cerrada $T$$S$.

Answer 2

Sugerencia: Modificar la curva de seno del topólogo para construir un ejemplo contrario a su conjetura. Lo cierto es que $\check{H}^1(R^2 -S)$ es distinto de cero (por la dualidad de Alexander).

Answer 3

He aquí un contraejemplo que creo que funciona.

$S \subset \Bbb R^2$ ser el subespacio que consiste en puntos de $(x, \sin(1/x))$ $x \in (0, 1]$ y de los puntos en $\{0\} \times [-1, 1]$ unión de un arco de unirse a $(0, 0)$$(1, \sin(1))$, es decir, el cuasi-círculo.

$S$ es cerrado y acotado subconjunto de $\Bbb R^2$. Uno puede ver que $S$ separa $\Bbb R^2$ en dos distintos componentes señalando que la imagen de cualquier camino de $\gamma$ no golpear $S$ tiene un resultado positivo de distancia de $S$, ya que ambos son subespacios compactos de $\Bbb R^2$. Entonces uno puede - con cuidado - reemplazar el $\{0\} \times [-1, 1]$ parte de a $S$ (debido a $\gamma$ ha distancia de al menos $\delta > 0$ a partir de él) para que se convierta en un círculo y la invocación de la curva de Jordan teorema.

Sin embargo, no hay tal $T$: cualquier circuito cerrado en la $S$ debe de perder el origen $(0, 0)$ $S$ no es ruta de acceso conectado en ese momento. Pero, obviamente, estos bucles no se separan $\Bbb R^2$.