Cómo utilizar el teorema del binomio para calcular binomios con exponente negativo

Question

Tengo problemas con la expansión de un binomio cuando es una fracción. $(a+b)^{-n}$ donde $n$ es un número entero positivo y $a$ y $b$ son números reales.

He mirado otras respuestas en este sitio y en el resto de la web, pero no consigo que tenga sentido. Por lo que he podido averiguar en la página de Wikipedia sobre el tema, $(a+b)^n$ donde $n>0$

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Para $\lvert x\rvert<1$ y un número real $\alpha$ puede escribir $(1+x)^{\alpha}$ como la serie convergente $$(1+x)^{\alpha}=\sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} x^k$$

Fueron $\binom\alpha k=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$ . Por ejemplo \begin{align}\binom{1/2}{4}&=\frac{\frac12\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\left(-\frac32\right)\cdot\left(-\frac52\right)}{24}=-\frac{15}{16\cdot24}\\\binom{-n}{k}&=\frac{-n\cdot(-n-1)\cdots(-n-k+1)}{k!}=(-1)^k\frac{n(n+1)\cdots(n+k-1)}{k!}=\\&=(-1)^k\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}=(-1)^k\binom{n+k-1}{k}\end{align}

Ahora bien, para utilizar esto eficazmente cuando $(a+b)^{-n}$ , se necesita al menos una entre $a$ y $b$ no sea cero y $\lvert a\rvert\ne\lvert b\rvert$ . Entonces, elige el de mayor valor absoluto y lo factoriza. Si es $a$ Esto significa escribir todo como

$$a^{-n}\left(1+\frac ba\right)^{-n}=a^{-n}\sum_{k=0}^\infty \binom{-n}{k}\frac{b^k}{a^k}=\sum_{k=0}^\infty \binom{n+k-1}{k}(-b)^ka^{-k-n}$$

Answer 2

Siempre se va a conseguir una serie, y por mi parte, encuentro la historia más fácil de entender cuando $a=1$ . Entonces, se aplica la fórmula estándar: $$ (1+b)^t=1+tb+\frac{t(t-1)}2b^2+\sum_{k=3}^\infty\binom tkb^k\,, $$ donde $\binom tk=t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)\big/k!$ . Este es el Teorema del Binomio Generalizado que se menciona en el comentario de @Dr.MV, y se suele demostrar en el Cálculo de segundo término. La fórmula es buena y convergente siempre que $|b|<1$ , sin importar si $t$ es un número entero negativo o un número racional, o incluso un número real. Cuando $a\ne1$ , se mencionará $a^t$ en todas partes. Nótese que esta expansión en serie no trata $a$ y $b$ simétricamente.

Answer 3

Tenga en cuenta que $(a+b)^{-n} = \frac{1}{(a+b)^n}$ .

Ahora, aplique $(a+b)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} a^i b^{n-i}$ para calcular el denominador.

Answer 4

Cuando $n$ es un número entero negativo y también lo es $k$ entonces podemos escribir \begin{align} \binom n k & = \frac{n!}{(n-k)! k!} \tag 1 \\[10pt] & = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots(n-k+1)}{k!}. \tag 2 \end{align} Tenga en cuenta que aunque la línea $(1)$ se supone que $n$ es un número entero no negativo, la línea $(2)$ no lo hace. Línea $(2)$ tiene sentido si $n$ es negativo o no es un número entero.

Ahora supongamos que entre $a$ y $b$ el de menor valor absoluto es $b$ es decir, tenemos $0 \le |b| < |a|.$ Eso implica $\left|\dfrac b a\right|<1,$ y lo necesitaremos para asegurar la convergencia de una serie que veremos a continuación.

Ahora supongamos que queremos ampliar $(a+b)^m$ como una suma de potencias de $a$ y los poderes de $b$ y $m$ no es necesariamente positivo y no es necesariamente un número entero. Entonces $$ (a+b)^m = a^m \left( 1 + \frac b a \right)^m = a^m \sum_{k=0}^\infty \binom m k \left(\frac b a \right)^k = \sum_{k=0}^\infty \binom m k a^{m-k} b^k. $$ Este es el "teorema del binomio de Newton".

Tenga en cuenta que

• Todos los poderes a los que $b$ son enteros no negativos, mientras que los de $a$ no tiene por qué serlo;
• Si $m$ resulta ser un número entero no negativo, entonces todos los términos en los que $k>m$ son $0$ ya que $\dbinom m k=0$ en ese caso.