Sospecho que tienes un error tipográfico, y el denominador debe ser $|1-z_i \overline{z_j}|^2$. Al menos, voy a mostrar que la cantidad de Möbius es invariante con esta modificación. Es posible, por supuesto, que ambos son invariantes.
El determinante es un arenque rojo; cada entrada de la matriz es invariante bajo las transformaciones de Möbius. Empiezo por citar un hecho de la geometría hiperbólica: Definir
$$\delta(u,v) = \frac{|u-v|^2}{(1-|u|^2)(1-|v|^2)}$$
para$u$$v$$\mathbb{D}$. Luego de que esta cantidad es invariante bajo las transformaciones de Möbius. Yo no puedo dar una intuición de este hecho, pero es fácil dar una referencia.
Así
$$1+\delta(u,v) = 1+\frac{(u-v)(\overline{u} - \overline{v})}{(1-u \overline{u}) (1-v \overline{v})} = \frac{\left( 1-u \overline{u} - v \overline{v} + u \overline{u} v \overline{v} \right) + \left( u \overline{u} - u \overline{v} - \overline{u} v + v \overline{v} \right)}{(1-u \overline{u}) (1-v \overline{v})}$$
$$=\frac{1- u \overline{v} - \overline{u} v + u \overline{u} v \overline{v}}{(1-u \overline{u}) (1-v \overline{v})} = \frac{(1-u \overline{v})(1-\overline{u} v)}{(1-|u|^2)(1-|v|^2)} = \frac{|1-u \overline{v}|^2}{(1-|u|^2)(1-|v|^2)}$$
es invariante bajo Möbius tranformations.
La sustitución de $u$$v$$z_i$$z_j$, este es el recíproco de la $(i,j)$ entrada en su matriz. Así que cada elemento de la matriz es Möbius invariantes, como se reivindica.
ACTUALIZACIÓN: me acabo de dar cuenta de una bonita manera de expresar anon de la solución a continuación. Deje $\sigma$ denotar Schwarz reflexión en el límite de $\mathbb{D}$. Desde Schwarz reflexión es un invariantes conformes operación, si $\phi$ es un Möbius
la transformación de $\mathbb{P}^1$ preservar $\mathbb{D}$,$\phi(\sigma(z)) = \sigma(\phi(z))$. Explícitamente, $\sigma(z) = \overline{z}^{-1}$.
A continuación, el $(i,j)$ entrada en su matriz es la cruz de la relación de $(z_i, z_j; \sigma(z_i), \sigma(z_j))$, por un cálculo muy similar a la de anon.
