Consider $A=\operatorname{Spec} k[x]_{(x)}[t]$ y $B=\operatorname{Spec} k[x,t]_{(x)}$ para un campo $k$ (Vakil, nota 11.3.8). Para mí, ambos son vecindarios infinitesimales de una recta afín - el primero es el producto de un vecindario infl de un punto en una recta con una recta, el segundo es simplemente un vecindario infl de una recta en un plano afín. ¿Cómo debo imaginar la diferencia entre ellos, o son demasiado sofisticados?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
¡Esta es una pregunta muy interesante y pedagógica!
1) El conjunto subyacente del esquema $A=\operatorname{Spec} k[x]_{(x)}[t]$ es la unión de
a) El punto genérico $\eta =(0)$ del plano $\mathbb A^2_k'
b) El eje $y$ $V(x)\subset \mathbb A^2_k$ .
c) Los puntos genéricos $\mathfrak p$ de todas las curvas irreducibles $V(\mathfrak p)\subset \mathbb A^2_k$ correspondientes a ideales primos $\mathfrak p\subset k[x,y]$ de altura $1$.
[Observación poco importante: $(x)$ aparece tanto en b) como en c)]
Tenga en cuenta cuidadosamente que el esquema $B$ no es un subesquema de $\mathbb A^2_k$ porque no es localmente cerrado.
Como comentó excelentemente el usuario oxeimon, $A$ tiene dimensión $2.
2) El esquema $B=\operatorname{Spec} k[x,t]_{(x)}$ es el espectro de un anillo de valoración discreta.
Por lo tanto, tiene dimensión $1$ y solo tiene dos puntos, es decir, el punto genérico $(x)$ del eje $y$ y el punto genérico $(0)$ de $\mathbb A^2_k$.
Aquí también $B$ no es un subesquema de $\mathbb A^2_k$, aunque su conjunto subyacente consiste en dos puntos del plano.
3) Ahora debería quedar claro que ninguno de los esquemas $A,B$ es un entorno infinitesimal del eje $y$ $V(x)\subset \mathbb A^2_k$.
De hecho, el primer entorno infinitesimal de $V(x)$ es $V(x^2)=\operatorname{Spec} k[x,y]/(x^2)$.
