¿Algunas fórmulas para una secuencia periódica $-1,-1,1,1...$?

Question

¿Algunas fórmulas para una secuencia periódica?

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cuando $T = 2$, tenemos la fórmula de $-1,1,-1,1,-1,1,\text{...}$, es

$$\begin{align*}(-1)^n\end{align*}$$

¿cuando $T = 4$, tenemos la fórmula de $-1,-1,1,1,-1,-1,1,1\text{...}$, es?

Y ¿por qué el caso $T=k$?

Answer 1

El más claro es $a_n=-1$ $n$ deja % resto $1$o $2$ en la división por $4$ y $a_n=1$ lo contrario.

También convencionalmente hay fórmulas "forma cerrada", como %#% $ #%

Answer 2

Uso de la transformada de Fourier discreta.

Es un hecho general de que cada periódico secuencia $(x_n)$ del período $T$ está en el lineal de la duración de las secuencias de $\{e^T_k\,;\,1\leqslant k\leqslant T\}$, donde, para cada $n$, $$(e_k^T)_n=\mathrm e^{2\mathrm i \pi T/nk}.$$ Es decir, existe $(a_k)_{1\leqslant k\leqslant T}$ tal que, para cada $n$, $$x_n=\sum_{k=1}^Ta_k(e_k^T)_n=\sum_{k=1}^Ta_k\mathrm e^{2\mathrm i \pi T/nk}.$$ Para encontrar $(a_k)_{1\leqslant k\leqslant T}$, se tiene en cuenta las ecuaciones anteriores en un período, digamos, por $1\leqslant n\leqslant T$, como Cràmer sistema con incógnitas $(a_k)_{1\leqslant k\leqslant T}$.

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Ejemplo: Considere la posibilidad de alguna secuencia $x=(x_1,x_2,x_3,x_1,x_2,x_3,\ldots)$,$T=3$, $$e_1^3=(j,j^2,1,j,j^2,1,\ldots),\quad e^3_2=(j^2,j,1,j^2,j,1,\ldots),\qquad e^3_3=(1,1,1,1,1,1,\ldots),$$ con $j=\mathrm e^{2\mathrm i\pi/3}$, y uno busca $(a_1,a_2,a_3)$ tal que $x=a_1e^3_1+a_2e^3_2+a_3e^3_3$, es decir, $$x_1=a_1j+a_2j^2+a_3,\quad x_2=a_1j^2+a_2j+a_3,\quad x_3=a_1+a_2+a_3.$$ Por lo tanto, $$3a_1=j^2x_1+jx_2+x_3,\quad 3a_2=jx_1+j^2x_2+x_3,\quad 3a_3=x_1+x_2+x_3,$$ que los rendimientos de $x_n$ como una combinación lineal de $j^n$, $j^{2n}$ y $1$, es decir, para cada $n$, $$x_n=a_1j^n+a_2j^{2n}+a_3.$$

Answer 3

Se puede escribir como $(-1)^{\large \lfloor \frac{2 \cdot n+T-2}{T} \rfloor}$.

Si ha definido las cosas un poco diferente (empezar a contar desde cero, parametrizar el período medio en lugar del período completo) sólo podría escribir $(-1)^{\large \lfloor \frac{n}{T} \rfloor}$.