¿Por qué debe el valor propio del operador número de ser un número entero?

Question

Mis disculpas si esta pregunta ya ha sido contestada. Usando la notación de Sakurai, tenemos una energía eigenket N y un autovalor n.

$$N | n \rangle = n | n \rangle$$

Para el operador número $N = a^\dagger a $. Mi pregunta es, precisamente, ¿por qué n tiene que ser un número entero. Entiendo que debe ser positiva definida debido a la norma condición en $ a | n \rangle $:

$$\langle n | a^\dagger a | n \rangle \geq 0$$

Puedo ver que nos puede mostrar:

$$ a | n \rangle = \sqrt{n-1} | n-1 \rangle $$ and similarly for $a^\daga | n \rangle$

Sakurai sostiene que la operación secuencial de $a$ operadores conduce a la forma que él no escribe, pero voy a escribir aquí para mayor claridad:

$$ a^k | n \rangle = \left(\sqrt{n}\sqrt{n-1}...\sqrt{n-k+1}\right) | n - k + 1 \rangle $$

Desde

$$ a|0 \rangle = 0 $$

la secuencia debe terminar, pero sólo puede terminar si n es un número entero. ¿Cómo podemos dar ese salto? Hay una formal matemático de la prueba de que la secuencia de $\left(\sqrt{n}\sqrt{n-1}...\sqrt{n-k+1}\right)$ terminará si y sólo si n es un número entero?

Answer 1

Usted puede obtener una respuesta sobre el por qué de n es un número entero, si se soluciona el oscilador armónico cuántico problema usando el poder de la serie de método. A partir de la Schrödinger eq. con un potencial de oscilador armónico, se puede hacer una sustitución a una variable adimensional $y=\sqrt\frac{m\omega}{\hbar}x$ y esto se traduce en

$\frac{d^2\psi(y)}{dy^2}+(\frac{2E}{\hbar\omega}-y^2)\psi(y)=0$

donde su solución general es

$\psi(y)=u(y)e^{\frac{-y^2}{2}}$

Ahora tienes que insertar esta solución en la ecuación anterior y resolver para $u(y)$. Después de algunos cálculos que usted consigue

$\frac{d^2u(y)}{dy^2}-2y\frac{du(y)}{dy}+(\frac{2E}{\hbar\omega}-1)u(y)=0$

Ahora tienes que usar un poder de la serie de $y$ como una solución general para la ecuación de arriba, aquí $u(y)$ toma la forma

$u(y)=\sum_{n=0}^\infty\alpha_n y^n$

Antes de la inserción de esta serie en la ecuación anterior, se tiene que resolver la primera y la segunda derivaties de $u(y)$. Después de una larga pero fácil de cálculo se obtendrá el siguiente

$\sum_{n=0}^\infty[(n+2)(n+1)\alpha_{n+2}+(\frac{2E}{\hbar\omega}-1-2n)\alpha_n]y^{2n}=0$

esto puede ser resuelto por $\alpha_{n+2}$ debido a que el coeficiente de cada potencia de $y$ debe ser igual a cero. Esto los lleva a

$\alpha_{n+2}=\frac{2n+1-\frac{2E}{\hbar\omega}}{(n+2)(n+1)}\alpha_n$

A partir de esto se puede ver que para valores grandes de y, n es muy grande, así como la relación de $\alpha_{n+1}$ $\alpha_n$está muy cerca de a $2/n$. Este es un problema, porque en el límite, 2/n crece más rápido que el término exponencial en $\psi(y)$. Por lo tanto, la serie debe terminar para que la solución para tener significado físico. Y una manera de hacerlo es establecer el numerador en la serie de arriba es igual a cero. que finalmente dará

$E=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$

Así, n debe ser un número entero, ya que la energía debe ser cuantificada y encontrar un físico de la solución.

Answer 2

1. Mostrar que si $|\nu\rangle$ es un autovector de a $N$ con autovalor $\nu$, y si $a|\nu\rangle\neq 0$, $a|\nu\rangle$ es un autovector de a $N$ con autovalor $\nu-1$.

2. Convencerse de que el espectro del operador número es negativo.

Asumir, por medio de la contradicción, que hay algunos que no sean números enteros autovalor $\nu^*>0$ y deje $m$ denotar el entero más pequeño mayor que $\nu^*$. El uso de la propiedad 1 repetidamente ($m$-times) para mostrar que $a^m|\nu^*\rangle$ es un autovector de a $N$ con autovalor $\nu^*-m <0$. Esta es una contradicción QED.

Answer 3

La condición crítica aquí es que la expectativa de valor del número de operador siempre debe ser positivo $n = \langle n | N | n \rangle \geq 0$

Si tenemos en cuenta que la operación de la reducción de operador $a$ es inferior $|n\rangle$ por un valor entero 1, es decir:

$$a |n \rangle = \sqrt{n} |n-1 \rangle$$

podemos ver que si $n$ fueron no es un entero, entonces la reducción de operador podría ser aplicado por un número de veces en que podremos lograr algo de $|n \rangle$ donde $n = \langle n | N | n \rangle \lt 0$

Más explícitamente, considere la posibilidad de $|2.5 \rangle$, $a^2|2.5\rangle=\sqrt{2.5}a|1.5\rangle=\sqrt{2.5}\sqrt{1.5} |-.5\rangle$. Esto no está permitido, usted debe tener un número entero $n$, de modo que después de un número finito de aplicaciones de la reducción del operador con el tiempo de la tierra, precisamente en $n=0$