¿Existe alguna integral para la proporción áurea?

Question

Me preguntaba por las constantes matemáticas importantes/famosas, como $e$ , $\pi$ , $\gamma$ y, obviamente, el proporción áurea $\phi$ . Las tres primeras son realmente conocidas, y hay muchas integrales y series cuyos resultados son simplemente esas constantes. Por ejemplo:

$$ \pi = 2 e \int\limits_0^{+\infty} \frac{\cos(x)}{x^2+1}\ \text{d}x$$

$$ e = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{k!}$$

$$ \gamma = -\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x\ e^{x - e^{x}}\ \text{d}x$$

¿Existe una interesante integral * (o alguna serie) cuyo resultado es simplemente $\phi$ ?

* Interesante integral significa que cosas como

$$\int\limits_0^{+\infty} e^{-\frac{x}{\phi}}\ \text{d}x$$

no son una buena respuesta a mi pregunta.

Answer 1

Potencialmente interesante:

$$\log\varphi=\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

Quizás también sea digno de consideración:

$$\arctan \frac{1}{\varphi}=\frac{\int_0^2\frac{1}{1+x^2}\, dx}{\int_0^2 dx}=\frac{\int_{-2}^2\frac{1}{1+x^2}\, dx}{\int_{-2}^2 dx}$$

Un desarrollo de la primera integral:

$$\log\varphi=\frac{1}{2n-1}\int_0^{\frac{F_{2n}+F_{2n-2}}{2}}\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$\log\varphi=\frac{1}{2n}\int_1^{\frac{F_{2n+1}+F_{2n-1}}{2}}\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$

que se derivan de la relación $(x-\varphi^m)(x-\bar\varphi^m)=x^2-(F_{m-1}+F_{m+1})x+(-1)^m$ , donde $\bar\varphi=\frac{-1}{\varphi}=1-\varphi$ y $F_k$ es el $k$ el número de Fibonacci. Me gusta especialmente:

$$\log\varphi=\frac{1}{3}\int_0^{2}\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$ $$\log\varphi=\frac{1}{6}\int_1^{9}\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$ $$\log\varphi=\frac{1}{9}\int_0^{38}\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$ $$\log\varphi=\frac{1}{12}\int_1^{161}\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$

Answer 2

En esta respuesta se demuestra que $$ \int_0^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+2x+5}\mathrm{d}x=\frac\pi{2\sqrt\phi} $$

Answer 3

Una identidad derivada del Rogers-Ramanujan continuó la fracción ( $R(q)$ , no definida aquí) exhibe un $\phi$ factor:

$$ \frac{1}{(\sqrt{\phi\sqrt{5}})e^{2\pi/5}} = 1+\frac{e^{-2\pi}}{1+\frac{e^{-4\pi}}{1+\frac{e^{-6\pi}}{1+\frac{e^{-8\pi}}{1+\frac{e^{-10\pi}}{1+\frac{e^{-12\pi}}{\cdots}}}}}}$$

y se puede obtener entonces una fórmula como $$ \ln \left( \sqrt{4\phi+3}-\phi^2\right) = -\frac{1}{5}\int_{e^{-2\pi}}^1 \frac{(1-t)^5(1-t^2)^5(1-t^3)^5 \dots}{(1-t^5)(1-t^{10})(1-t^{15}) \dots}\frac{dt}{t}$$ que une bellamente las integrales, $e$ , $\phi$ y $\pi$ . Se describe, por ejemplo, en Relación áurea y una integral de tipo Ramanujan .

Aunque no es muy práctico para obtener $\phi$ aproximaciones racionales.

[EDIT] En M. D. Hirschhorn, Una conexión entre $\pi$ y $\phi$ , Fibonacci Quarterly, 2015, otra relación asintótica es:

$$ \frac{1}{\pi}=\lim_{n\to \infty} 2n {5}^{1/4}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}/\phi^{5n+5/2}$$

Answer 4

$$\int_{-1}^1 dx \frac1x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \log{\left (\frac{2 x^2+2 x+1}{2 x^2-2 x+1}\right )} = 4 \pi \operatorname{arccot}{\sqrt{\phi}}$$

Answer 5

Aquí hay una serie:

$$ \phi = 1 + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^{n}}{F_nF_{n-1}} $$

donde $F_n$ es el $n$ número de Fibonacci.

Para ver esto, reescribe el numerador usando la identidad $(-1)^n=F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2$ , en cuyo punto el sumando se convierte en $$ \frac{F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2}{F_nF_{n-1}}=\frac{F_{n+1}}{F_n}-\frac{F_n}{F_{n-1}} $$ y así la suma se telescopia: la suma parcial que termina en $n$ es igual a $$ \frac{F_{n+1}}{F_n}-\frac{F_2}{F_1}=\frac{F_{n+1}}{F_n} - 1 $$ que da la expresión original de la serie a través del límite $\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \phi$ .