Acercamiento axiomático a la definición de varianza

Question

Estoy tratando de captar la intuición detrás de la definición de la varianza. Parece plausible que queremos medir la cantidad de una variable aleatoria se desvía de su valor esperado. Pero, ¿por qué el uso de la plaza exactamente?

Por lo que puedo ver, estamos interesados en una asignación de la forma $X\mapsto E(f(|E(X)-X|))$ para algunos estrictamente monótona $f$$f(0)=0$$f(1)=1$. Hay otras propiedades de la varianza a partir de la cual, si se utiliza como axiomas, podemos deducir $f(x)=x^2$?

Por ejemplo, additiveness w.r.t. independiente de las variables aleatorias, es decir,$$E(f(|E(X+Y)-X-Y|))=E(f(|E(X)-X|))+E(f(|E(Y)-Y|))$$ for $ X,Y$ independientes, baste como ejemplo un axioma?

Answer 1

Sí, de la suma de variables aleatorias independientes es suficiente.

Para simplificar un poco, podemos suponer que $E[X] = 0$$E[Y]=0$.
También supongamos $X$ $Y$ son acotados, para evitar preguntas acerca de la existencia de valores esperados. También, ya que sólo se usará $f$ sobre los valores absolutos de las variables aleatorias, podemos definir $f$ a ser una función par en $\mathbb R$. También asumiré $f$ es continua. Ahora quiere una función par $f$ tal que $E[f(X+Y)] = E[f(X)] + E[f(Y)]$ para delimitada independiente de variables aleatorias tales que $E[X] = E[Y]=0$. Por la linealidad de la expectativa, esto es equivalente a $E[f(X+Y) - f(X) - f(Y)] = 0$.

En particular, para las constantes $s$$t$, consideran independientes $X$ $Y$ tal que $P(X=s)=P(X=-s)=1/2$$P(Y=t)=P(Y=-t)=1/2$. Entonces $E[f(X)] = (f(s) + f(-s))/2 = f(s)$, $E[f(Y)] = f(t)$ del mismo modo, y $E[f(X+Y)] = (f(s+t) + f(s-t))/2$. Por lo tanto la ecuación se convierte en

$$ \dfrac{f(s+t) + f(s-t)}{2} - f(s) - f(t) = 0 $$

Tenga en cuenta que para $s=t=0$ obtenemos $f(0) = 0$. Ahora tomando la $s = k t$ para los números enteros $k$, se puede demostrar por inducción que $$ f(k t) = k^2 f(t) $$ y así para los racionales $a/b$, $$f\left(\frac{a}{b}\right) = a^2 f\left(\frac1b\right) = \frac{a^2}{b^2} f(1)$$ Por la continuidad, ampliamos esta a reales: $f(x) = x^2 f(1)$. Si usted asume la normalización $f(1) = 1$, usted tiene $f(x) = x^2$.

Estoy bastante seguro de que, como con la de Cauchy funcional de la ecuación, la suposición de continuidad puede ser sustituida por la mensurabilidad (y sin duda tenemos $f$ ser medibles, otra cosa $E[f(X)]$ sería indefinido, por ejemplo, el uniforme de variables aleatorias).

Answer 2

Empecé a formular esta prueba antes de ver la versión reciente de Robert respuesta, es más o menos la misma idea pero me stil ganas de escribir".

Deje $\Omega$ consta de $4$ elementos con igualdad de probabilidades, voy a describir las variables aleatorias $\Omega$ $4$- tuplas.

Ahora para $a\ge b\ge 0$ deje $X=(a,a,-a,-a)$$Y=(b,-b,b,-b)$, los dos son independientes y tenemos $E(f(|X+Y|))=(1/2)f(a-b)+(1/2)f(a+b)$ como $E(f(|X|))+E(f(|Y|))=f(a)+f(b)$. Así que, si conocemos dos valores de $f(a-b)$, $f(a)$ y $f(b)$, el tercero está determinada únicamente por nuestro axioma, y el hecho de $E(X)=E(Y)=0$.

Primero vemos que el $f$ se determina en $2^{-n}$ por inducción en $n$, para la inducción de paso, seleccione $a=b=2^{-n-1}$. Luego, por inducción sobre $m$, $f$ también se determina en $m2^{-n}$, para la inducción de paso, seleccione $a=m2^{-n},b=2^{-n}$.

Así que sabemos que $f$ está determinada únicamente en un subconjunto denso de ${\bf R}_{\ge 0}$ y, ya que debe ser igual a $x\mapsto x^2$, que es continua en a ${\bf R}_{\ge 0}$, podemos deducir todos los valores que faltan explotar $f$'s de la monotonía.