Lógica de resolución cúbico de $x^4+px^2+qx+r=0$

Question

Estoy leyendo "Un curso de álgebra" de E. B. Vinberg tener un conocimiento básico de álgebra.

En su Capítulo 3 hay una interesante demostración sobre cúbicos de resolución de la ecuación de $x^4+px^2+qx+r=0$.

1. Definir $\sigma_i$ la primaria simétrica polinomios: $$\sigma_i=\sum_{k_1<k_2<\cdots<k_i}x_{k_1}x_{k_2}\cdots x_{k_i}$$

2. Definir $h_i(x_1,x_2,x_3,x_4)$:
   $$ \left\{ \begin{array}{ll} h_1=x_1x_2+x_3x_4 \\ h_2=x_1x_3+x_2x_4\\ h_3=x_1x_4+x_2x_3 \end{array} \right.$$

   Entonces uno tiene:
   $$ \left\{ \begin{array}{ll} h_1+h_2+h_3&=\sigma_2 \\ h_1h_2+h_1h_3+h_2h_3&=\sigma_1\sigma_3-4\sigma_4\\ h_1h_2h_3&=\sigma_1^2\sigma_4+\sigma_3^2-4\sigma_2\sigma_4 \end{array} \right. $$

3. Vamos $c_1$, $c_2$, $c_3$, $c_4$ ser las raíces de la ecuación de $x^4+px^2+qx+r=0$.

   Entonces $$ \left\{ \begin{array}{ll} \sigma_1(c_1,c_2,c_3,c_4)=0\\ \sigma_2(c_1,c_2,c_3,c_4)=p\\ \sigma_3(c_1,c_2,c_3,c_4)=-q\\ \sigma_4(c_1,c_2,c_3,c_4)=r \end{array} \right.$$

4. Deje $d_i=h_i(c_1,c_2,c_3,c_4)$.

   Por lo $d_i$ son las raíces de la ecuación de $y^3+a_1y^2+a_2y+a_3=0$ donde $$ \left\{ \begin{array}{ll} a_1=-(d_1+d_2+d_3)\\ a_2=d_1d_2+d_1d_3+d_2d_3\\ a_3=-d_1d_2d_3 \end{array} \right.$$

   Desde el paso 2 que uno tiene $a_1=-p$, $a_2=-4r$, $a_3=4pr-q^2$.

   Así las ecuaciones tiene la forma $y^3-py^2-4ry+(4pr-q^2)=0$. Esto se supone que tienen solución.

5. Definir $$ \left\{ \begin{array}{ll} b_1=c_1+c_2-c_3-c_4\\ b_2=c_1-c_2+c_3-c_4\\ b_3=c_1-c_2-c_3+c_4 \end{array} \right.$$

   Por lo que uno tiene $$ \left\{ \begin{array}{ll} b_1^2=4(d_1-p)\\ b_2^2=4(d_2-p)\\ b_3^2=4(d_3-p)\\ b_1b_2b_3=-8q \end{array} \right.$$

   A partir de aquí se lleva a $$ \left\{ \begin{array}{ll} c_1+c_2+c_3+c_4&=0\\ c_1+c_2-c_3-c_4&=b_1&=2\sqrt{d_1-p_1}\\ c_1-c_2+c_3-c_4&=b_2&=2\sqrt{d_2-p_1}\\ c_1-c_2-c_3+c_4&=b_3&=2\sqrt{d_3-p_1} \end{array} \right.$$

   Así se resuelve: $$c_{1,2,3,4}=\frac{1}{2}(\pm\sqrt{d_1-p_1}\pm\sqrt{d_2-p_1}\pm\sqrt{d_3-p_1})$$ con el número de desventajas de ser incluso, y el valor de la raíz cuadrada elegido de manera que $b_1b_2b_3=-8q$.

Ahora, todos estos pasos entiendo, y son muy inteligentes. Sin embargo, si nos fijamos en el paso 5, es sólo algo de truco matemático (ser sensible a formas matemáticas) o hay algo, algunos más lógica detrás de esto?

La lógica antes del paso 5, para ponerlo simple, es que a $d_i$ través $\sigma_i$, el uso de la simetría, sin saber exactamente $c_i$. Esto es bastante inteligente. Así paso 5 la idea es conseguir que $c_i$$d_i$.

Cómo ppl obtener la fórmula en el paso 5 para lograr eso? es sólo por prueba y error, por suerte?

O hay alguna lógica detrás de esto? Sospecho que así como $b_i$ aspecto similar a $d_i$, parece también algunos "indirecta simetría" detrás de la construcción de $b_i$.

Por favor, arrojar algo de luz?

Answer 1

No hubo suerte. La parte más difícil fue en realidad en la $d_1,d_2,d_3$. Después de que es sólo una cuestión de manipulación para hacer uso del hecho de que $c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 0$ debido a la cuártica está deprimido.

$d_1 = c_1 c_2 + c_3 c_4 = p - ( c_1 c_3 + c_1 c_4 + c_2 c_3 + c_2 c_4 ) = p - (c_1+c_2)(c_3+c_4) = p + (c_1+c_2)^2$

$d_2 = c_1 c_3 + c_2 c_4 = p - ( c_1 c_2 + c_1 c_4 + c_3 c_2 + c_3 c_4 ) = p - (c_1+c_3)(c_2+c_4) = p + (c_1+c_3)^2$

$d_3 = c_2 c_3 + c_1 c_4 = p - ( c_1 c_2 + c_1 c_3 + c_4 c_2 + c_4 c_3 ) = p - (c_1+c_4)(c_2+c_3) = p + (c_1+c_4)^2$

A partir de aquí es claro que podemos conseguir a $c_1,c_2,c_3,c_4$ porque:

$c_1+c_2 = \sqrt{d_1-p}$ , donde el signo de la $\sqrt{}$ es desconocido

$c_1+c_3 = \sqrt{d_2-p}$ , donde el signo de la $\sqrt{}$ es desconocido

$c_1+c_4 = \sqrt{d_3-p}$ , donde el signo de la $\sqrt{}$ es que:

$\sqrt{d_1-p} \sqrt{d_2-p} \sqrt{d_3-p} = c_1^2 (c_1+c_2+c_3+c_4) + (c_1c_2c_3+c_1c_2c_4+c_1c_3c_4+c_2c_3c_4)$

$ = -q$ porque $c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 0$

$c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 0$ (de nuevo)

La suma de los primeros tres menos cuarto da:

$2 c_1 = \sqrt{d_1-p} + \sqrt{d_2-p} + \sqrt{d_3-p}$

Usted puede comprobar que su libro de texto dispuso los pasos anteriores, en muy atrás manera, que no ayuda en la comprensión de la variedad de expresiones de vino.

Notas

Manipulación Similar también dan lugar al hecho de que la resolvent cúbico $y \mapsto y^3 − p y^2 - 4r y + (4pr−q^2)$ tiene el mismo discriminante como el original de la cuártica.

$d_1 - d_2 = ( c_1 c_2 + c_3 c_4 ) - ( c_1 c_3 + c_2 c_4 ) = (c_1-c_4)(c_2-c_3)$

$d_1 - d_3 = ( c_1 c_2 + c_3 c_4 ) - ( c_1 c_4 + c_2 c_3 ) = (c_1-c_3)(c_2-c_4)$

$d_2 - d_3 = ( c_1 c_3 + c_2 c_4 ) - ( c_1 c_4 + c_2 c_3 ) = (c_1-c_2)(c_3-c_4)$

Entonces es natural considerar el producto de ambos lados que da el resultado.

Alternativas

Hay otro resolvent cúbicos, donde los pasos anteriores son en realidad mucho más fácil de ver:

Deje $d_1 = - (c_1+c_2)(c_3+c_4) = (c_1+c_2)^2$

Deje $d_2 = - (c_1+c_3)(c_2+c_4) = (c_1+c_3)^2$

Deje $d_3 = - (c_1+c_4)(c_2+c_3) = (c_1+c_4)^2$

A continuación, por simetría la simetría polinomios en $(d_1,d_2,d_3)$ será simétrico en $(c_1,c_2,c_3,c_4)$, y la de aquellos a los que es fácil calcular el resolvent cúbicos que ha $(d_1,d_2,d_3)$ como raíces. Después de que la solución es idéntica, y en cierto sentido más simple que el que su libro de texto utiliza. Más tarde también a su vez, que el criterio para distinguir si el grupo de Galois de una irreductible separables cuártica es $C_4$ o $D_4$ será mucho más sencillo el uso de esta resolvent cúbicos de tu libro de texto.

Answer 2

Esta es sólo una parte del camino a una verdadera respuesta, pero creo que el punto de la $b_i$ es que son lineal de los polinomios en el subcampo $\mathbb{Q}(c_1,c_2,c_3,c_4)^{A_4}$ de la división de campo de $\mathbb{Q}(c_1,c_2,c_3,c_4)$ de su inicial polinomio que queda invariante bajo permutaciones de las raíces de las $c_j$. Creo que el espacio vectorial $\mathbb{Q}b_1 + \mathbb{Q}b_2 + \mathbb{Q}b_3$ distribuido por ellos debe ser exactamente el lineal de los polinomios (sin término constante) invariante bajo esas permutaciones. (Tenga en cuenta que cada uno de ellos tiene exactamente dos signos menos.)

Tenga en cuenta también que el $d_i$ son polinomios cuadráticos en las raíces $c_j$, y también invariante bajo permutaciones de las raíces. Uno podría pensar que una expresión de la $d_i$ en términos de la $b_i$, y otras cantidades conocidas (y viceversa) puede ser encontrado. Así que usted puede ser llevado a la $b_i$ preguntando qué conjunto lineal de polinomios en las raíces "tiene las mismas simetrías" como el $d_i$.

Una descripción más detallada (la participación de más conocimiento de la teoría de campo de los que puedo recordar en el momento) se puede encontrar, por ejemplo, aquí: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf

La parte que desea es alrededor de la página 50, pero se necesita haber leído el material anterior para hacer mucho sentido.