Si no asumimos CH, ¿existe un procedimiento para construir o definir un conjunto de subconjuntos de $\mathbb{N}$ tal que no podemos demostrar que sea de cardinalidad $\aleph_0$ o $\aleph_1$ ?
O si suponemos que no es CH, cómo encontrar un conjunto de subconjuntos de $\mathbb{N}$ con cardinalidad $\aleph_1$ ?
( Editar : He editado la respuesta para mejorar la legibilidad; Edición II: Se ha añadido un $\aleph_1$ colección de reales)
Tenemos que enfocar la cuestión abordando primero lo que significa "encontrar un conjunto de subconjuntos". Si la respuesta es "definir explícitamente", entonces esto nos obliga a limitarnos a $L$ que es el universo de conjuntos construibles de Godel. En $L$ tenemos que $CH$ se mantiene y, por tanto, existe una biyección definible entre $2^{\aleph_0}$ y $\aleph_1$ .
Sin embargo, puede que no siempre sea así, en particular puede ser que $\aleph_1$ en $L$ no está ni siquiera cerca del "verdadero" $\aleph_1$ (es decir, diferentes modelos ven los mismos ordinales como diferentes cardinales. Sí, es muy confuso al principio). En este caso puede ser que el axioma de elección no se cumpla, o incluso peor $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ son incomparables (es decir, no hay ningún conjunto de reales de tamaño $\aleph_1$ ).
La respuesta "correcta" es que definimos, o construimos, objetos utilizando herramientas que no son realmente construible, es decir, damos un esquema de un objeto matemático y demostramos su existencia utilizando maquinaria como la inducción transfinita o el axioma de elección (a menudo ambos). Esto significa que en realidad no describir el conjunto, sino que simplemente se utiliza el hecho de que está ahí.
Recordemos que $|A|\le|B|$ si existe una función inyectiva desde $A$ en $B$ . Esto se traduce como: $|A|\le|B|$ si y sólo si existe algún $B'\subseteq B$ tal que $|A|=|B'|$ (es decir, existe una biyección entre $A$ y $B'$ ).
Supongamos ahora que $2^{\aleph_0}=\aleph_{12,401}$ . Desde $\aleph_1<\aleph_{12,401}=2^{\aleph_0}$ tomar una biyección entre $\aleph_{12,401}$ y $2^{\aleph_0}$ y limitarse a la primera $\aleph_1$ elementos en el dominio. El resultado es un conjunto de subconjuntos cuya cardinalidad es $\aleph_1$ .
Además, los índices no importan en el ejemplo anterior, ni siquiera el hecho de que hayamos asumido $2^{\aleph_0}$ es un $\aleph$ -número en absoluto. Lo único que importaba es que $\aleph_1<2^{\aleph_0}$ en el ejemplo anterior, podríamos haber utilizado cualquier otra cardinalidad - siempre y cuando sea menor (o igual) a ésta del continuo.
Si el axioma de elección no se sostiene puede haber un conjunto de números reales (es decir, subconjuntos de $\mathbb N$ ) que no es de ningún $\aleph$ cardinalidad, es decir, no pueden estar bien ordenados. De esto se deduce que $2^{\aleph_0}$ definitivamente no es $\aleph_1$ o cualquier otro $\aleph$ número. (para más información lea mi respuesta aquí )
Además, si asumimos algunos axiomas ligeramente más fuertes podemos construir un modelo en el que no hay absolutamente ninguna $\aleph_1$ conjuntos de reales. Es decir, los conjuntos de números reales pueden estar bien ordenados si y sólo si son contables.
Una forma más específica $\aleph_1$ conjunto se puede encontrar en la teoría descriptiva de conjuntos. Es consistente (como ha comentado el usuario92843 debajo de su respuesta) para tener un conjunto coanalítico de reales que es de cardinalidad $\aleph_1$ .
En primer lugar cuando se dice consistente significa que no hay ninguna nueva contradicción al afirmar que dicho conjunto existe. Puede ser consistente que lo contrario sea cierto (un ejemplo de tal afirmación es la Hipótesis del Continuo).
Es decir, partimos de un modelo de $ZFC$ y describir una forma de convertirlo en un modelo de $ZFC$ con el conjunto deseado de números reales. Estas pruebas suelen pasar por el forzamiento y se vuelven algo técnicas.
Otro motivo de vaguedad reside en la estructura de los conjuntos en el jerarquía proyectiva que suelen ser muy complicados en comparación con los conjuntos de Borel (o incluso de Lebesgue).
Para terminar volveré al principio de mi respuesta. Por lo general, no podemos describir de forma muy agradable los objetos matemáticos que son incontables, e incluso los objetos contables pueden comportarse de forma extraña. El hecho es que el continuo puede ser descrito de una manera agradable como la cardinalidad de la línea real es algo sorprendente y no trivial en absoluto.
Por eso las matemáticas son una "ciencia de la deducción", en la que inferimos a partir de supuestos. Suponemos que $\aleph_1<2^{\aleph_0}$ y de ello se infiere la existencia de un $A\subseteq\mathbb R$ tal que $|A|=\aleph_1$ .
Añadido: Cómo construir un $\aleph_1$ conjunto de números reales dentro de ZFC.
Tome $f$ para ser su bijuque favorito de $\mathbb R^\mathbb N$ en $\mathbb R$ . Ahora arregla algunos $\langle g_\beta\colon\omega\to\beta\mid\beta<\omega_1\rangle$ una secuencia de biyecciones de todos los ordinales contables con $\mathbb N$ y $\langle h_\beta\colon\beta\to\mathbb Q\mid\beta<\omega_1\rangle$ una secuencia de incrustaciones de orden de ordinales contables en los racionales (estas secuencias requieren un fragmento de elección, ya que dicha secuencia podría no existir sin ella).
Por cada $\beta<\omega_1$ tomar $r_\beta$ para ser $f(h_\beta\circ g_\beta)$ .
Supongamos que $\alpha<\beta$ entonces el rango de $h_\beta$ es diferente al rango de $h_\alpha$ ya que los rangos están bien ordenados por $<$ . Por lo tanto, $\{r_\alpha\mid\alpha<\omega_1\}$ es un conjunto de números reales de cardinalidad $\aleph_1$ como se quería.
Cualquier subconjunto de Borel (de hecho analítico) de $2^\mathbb{N}$ es contable o contiene un conjunto perfecto. En particular, si dicho conjunto es incontable entonces tiene la cardinalidad del continuo.
EDIT: Si estás interesado en ver que esta propiedad de conjunto perfecto se propaga a través de todos los conjuntos proyectivos (en cierto sentido, cualquier conjunto razonablemente definible, incluyendo los conjuntos coanalíticos y más allá) deberías mirar el axioma de determinación proyectiva .
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