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Confusión sobre los problemas de probabilidad

Estoy atascado con estas probabilidad de problemas,

  1. Un par de imparcial dados hecho rodar juntos hasta una suma de $5$ o $7$ es obtenido. Encontrar la probabilidad de que $5$ viene antes de $7$?

  2. Una carta en la que se toma al azar de las letras de la palabra "ESTADÍSTICAS" y otra carta es tomado al azar de las cartas de la palabra 'AYUDANTE '. Encontrar la probabilidad de que son el mismo de la carta.

  3. Una bolsa contiene $6$ rojo y $4$ bolas verdes. Una feria es hecho rodar los dados y un número de bolas igual a las que aparecen en los dados es elegido de la urna al azar.¿Cuál es la probabilidad de que todas las bolas seleccionado son de color rojo?

  4. Una carta es conocido por haber venido de cualquier TATANAGAR o CALCUTA. En el sobre, sólo dos días consecutivos de letras, TA, son visible. Encontrar la probabilidad de que la carta ha llegado de CALCUTA.

Podría alguien ayudarme a entender cómo acercarse a ellos?

40voto

Oli Puntos 89

En estos problemas, un "diagrama de árbol" es útil, de hecho casi indispensable, para el análisis de la situación. Los diagramas de árbol se han quedado fuera, porque se toman un tiempo para dibujar con programas gráficos. Así que nos quedamos con puramente "verbal" de los argumentos. Por favor, en cada caso, dibuje una adecuada diagrama de árbol!

Problema 1:

Forma 1: La probabilidad de que la suma en cualquier sorteo es$5$$4/36$. La probabilidad de que la suma es$7$$6/36$. Tal vez es obvio que con una probabilidad de $1$ "el primero es $5$" o "el primero es $7$" va a suceder. Y tal vez es obvio que el cociente de las probabilidades de los dos eventos es$4$$6$. Entonces la probabilidad de que la primera es$5$$4/10$. Este resulta ser correcta, pero a menos que la intuición está muy bien desarrollado, este tipo de razonamiento puede ser peligroso.

Forma 2: Cuando tiramos dos dados, vamos a $N$ ser el evento "tenemos ni un $5$ ni $7$." Es fácil ver que la probabilidad de $N$$26/36$.

Imaginar el juego termina cuando ya sea un $5$ o $7$ sucede. A continuación, " $5$ viene antes de $7$" puede suceder de varias maneras. Podríamos obtener un $5$ inmediatamente. Llamar a ese evento $5$, O la que podría obtener a $N$$5$. Llamar a esto $N5$. O podríamos conseguir $NN5$. O de que otra manera podríamos conseguir $NNN5$, y así sucesivamente.

La probabilidad de $5$$4/36$. La probabilidad de $N5$$(26/36)(4/36)$. La probabilidad de $NN5$$(26/36)^2(5/36)$. Y así sucesivamente.

Por lo que la probabilidad de "$5$$7$" $$\left(\frac{4}{36}\right) + \left(\frac{4}{36}\right)\left(\frac{26}{36}\right)+ \left(\frac{4}{36}\right)\left(\frac{26}{36}\right)^2 + \left(\frac{4}{36}\right)\left(\frac{26}{36}\right)^3 +\cdots$$ Suma de las anteriores series geométricas infinitas en la forma habitual.

Forma 3: Deje $p$ la probabilidad de que $5$ viene antes de $7$. El evento "$5$ ocurre antes de $7$" puede ocurrir de dos maneras: (i) vamos a obtener un $5$ en el primer tirar o (ii) podemos obtener un $N$ en el primer lanzamiento, pero en la posterior lanzando, $5$ viene antes de $7$.

Deje $p$ la probabilidad de que $5$ ocurre antes de $7$. Luego del anterior análisis $$p=\frac{4}{36} +\left(\frac{26}{36}\right)p$$ Resolver esta ecuación lineal para $p$. Llegamos $p=2/5$.

Problema 2: El caso de "las letras tienen el mismo" puede suceder de varias maneras: (i) se consigue una S desde la primera palabra y S a partir de la segunda; (ii) obtener la T de la primera palabra y T a partir de la segunda; (iii) obtener una a partir de la primera palabra y a partir de la segunda; (iv) tenemos un yo a partir de la primera palabra y un yo a partir de la segunda.

¿Cuál es la probabilidad de que (i)? La probabilidad de obtener S de las ESTADÍSTICAS es $3/10$. La probabilidad de obtener S de AYUDANTE de es $3/9$. De modo que la probabilidad de obtener S de la primera palabra y la de la segunda es $(3/10)(3/9)$.

¿Cuál es la probabilidad de que (ii)? La probabilidad de obtener T a partir de la primera palabra es $3/10$. La probabilidad de obtener T desde el segundo es $2/9$. Así que la probabilidad de obtener la T de cada una es $(3/10)(2/9)$.

Del mismo modo, la probabilidad de que (iii) es $(1/10)(2/9)$ y la probabilidad de (iv) es $(2/10)(1/9)$.

Agregar para arriba. La probabilidad es necesario $$(3/10)(3/9)+ (3/10)(2/9)+ (1/10)(2/9)+ (2/10)(1/9)$$

Por favor, compruebe los números, yo no soy particularmente bueno en el recuento.

Problema 3: La lógica es un poco parecida a la de la anterior problema. Lanzamos el dado, y consiguió una de $1$, $2$, \puntos, $6$, cada una con una probabilidad de $1/6$.

"Todo rojo" puede suceder de varias maneras. Tal vez lanzamos un $1$, y tiene un color rojo en la pelota de uno nos llamó. Si sacamos una bola, la probabilidad es de color rojo es $6/10$. Por lo que la probabilidad de que lanzara una $1$, por lo que sacó una pelota, y fue el rojo es $(1/6)(6/10)$.

Tal vez lanzamos un $2$, y sacó $2$ bolas rojas. La probabilidad de sacar roja, roja es $(6/10)(5/9)$. Por lo que la probabilidad de que lanzara una $2$ y luego se metió $2$ rojo es $(1/6)(6/10)(5/9)$.

O tal vez lanzamos un $3$ luego sacó $3$ bolas rojas. La probabilidad de que este es $(1/6)(6/10)(5/9)(4/8)$.

Continuar, y al final agregar hasta los seis probabilidades de que se han calculado.

Problema 4: no hacer esto, una solución que se ha publicado. Además, no creo que el problema está bien definido, ya que no sabemos por qué el proceso de la $2$ sobrevivir cartas fueron obtenidos.

3voto

goingglacial Puntos 161

Sugerencia 4:

Hay 8 posibles dos secuencias consecutivas en TATANAGAR, que TA aparece dos veces.
Hay 7 posibles dos secuencias consecutivas de Calcuta, que TA aparece una vez. Que $K$ sea el evento que representa a TATANGAR, $C$ el evento representando a Calcuta. Entonces $P(K)=P(C)=1/2$.
So $P(TA\vert K)=1/4;$ $P(TA\vert C)=1/7.$

Probabilidad de TA siendo visible es $$P(TA)=P(TA\vert C)P(C)+P(TA\vert K)P(K)$ $, $P(C\vert TA)=P\frac {(C \cap TA)}{P(TA)}$

2voto

user8269 Puntos 46

En la 1, que $p_n$ sea la probabilidad de que el juego termina con un rollo número $5$ $n$. ¿Usted puede elaborar una fórmula para $p_n$? ¿Puedes ver qué hacer con todos los $p_n$ una vez que tenga una fórmula para ellos?

2voto

BradS Puntos 1887

Consejos extravagantes sobre #2: la probabilidad de elegir una de ambas palabras es 1/10 (1 A en estadísticas) multiplicada por 2/9 (2 como auxiliar), o 2/90. El proceso para las otras letras es que la misma y sólo agregan para arriba. :)

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