Demostrar que: $\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{b+3}+\dfrac{1}{c+3}+\dfrac{1}{d+3}\leq1$

Question

Que $a$, $b$, $c$ y $d$ son números no negativos tales que $abc+abd+acd+bcd=4.$ demostrar que:

$\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{b+3}+\dfrac{1}{c+3}+\dfrac{1}{d+3}\leq1$

Simplificado y resulta que es suficiente para mostrar

$19\le3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd$

sujetas a $abc+abd+acd+bcd=4.$

Entonces traté de multiplicador de Lagrange pero no ayuda demasiado...

Answer 1

en primer lugar, podemos fácilmente comprobar si $a=0,bcd=4 \not = 0 $ y es verdad para la desigualdad.(AM-GM, $19 \le 18 \sqrt[3] {2} \iff (18+1)^3 \le 2 \times 18^3 \iff 3 \times 18^2 +3 \times 18 +1 \le 18^3 \iff 3 \times 18 +1 \le 15 \times 18^2 ）$

a continuación, supongamos $abcd \not =0$,vamos a $x_1=\dfrac{1}{a},x_2=\dfrac{1}{b},x_3=\dfrac{1}{c},x_4=\dfrac{1}{4} \to \sum_{cyc} x_{1}=4x_1x_2x_3x_4 \implies 19x_1x_2x_3x_4 \le 3\sum_{cyc}x_1x_2+1$

$f=19x_1x_2x_3x_4-3\sum_{cyc}x_1x_2-1,g=x_1+x_2+x_3+x_4-4x_1x_2x_3x_4 , F=f+\lambda g $

$F_{x_1}=19x_2x_3x_4-3(x_2+x_3+x_4)+\lambda (1-4x_2x_3x_4)=0$ $F_{x_2}=19x_1x_3x_4-3(x_1+x_3+x_4)+\lambda (1-4x_1x_3x_4)=0$ $F_{x_3}=19x_2x_1x_4-3(x_2+x_1+x_4)+\lambda (1-4x_2x_1x_4)=0$ $F_{x_4}=19x_2x_3x_1-3(x_2+x_3+x_1)+\lambda (1-4x_2x_3x_1)=0$

$(x_1-x_2)(\lambda-3(x_3+x_4))=0$

$(x_2-x_3)(\lambda-3(x_1+x_4))=0$

$(x_3-x_4)(\lambda-3(x_1+x_2))=0$

caso I: $x_1=x_2=x_3=x_4=1$

caso II: $x_1=x_2=x_3=x , \lambda = 6x_1=6x$

$19x^3-9x+6x-24x^4=0 \to 24x^3-19x^2+3=0 \to (3x+1)(8x^2-9x+3)=0 \to $ \ $x=-\dfrac{1}{3}$, ignorar.

caso III: $x_1=x_2, \lambda=3(x_1+x_4)=3(x_1+x_2) \implies$ caso II, ignorar

caso IV: $\lambda=3(x_1+x_2)=3(x_2+x_3)=3(x_3+x_4) \to x_1=x_3=x,x_2=x_4=y $

$19xy-3-12x^2y-12xy^2=0,x+y=2x^2y^2 \to 19xy-3-24x^3y^3=0 \to xy<1 \implies x,y $ no tienen ninguna raíz real. ignorar.

tan sólo en caso de que uno está bien.

$\dfrac{\partial f}{\partial x_1}=19x_2x_3x_4-3(x_2+x_3+x_4) ,\dfrac{\partial ^2 f}{\partial ^2 x_1}=0 , \dfrac{\partial ^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}=19x_3x_4-3=\dfrac{\partial ^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}=16$

$H=\left[\array{0 & 16 & 16 &16 \\ 16 & 0 & 16 &16 \\ 16 & 16 & 0 & 16 \\16 & 16 &16 & 0 }\right] <0 $

puesto que sólo hay una solución, por lo que será globo max también.

$f_{max}=19-3 \times 6 -1=0 $

QED.