Si no recuerdo mal, hace diez años a la semana (más o menos), me enseñó el primer semestre de primer año de cálculo para la primera vez. Como muchos de cálculo de los instructores de hacer, decidí que tenía que hacer algo extra de crédito preguntas a los estudiantes a pensar más profundamente sobre el material. La primera que hice fue esto:
1) Recordemos que una función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ se dice que tiene una discontinuidad removible en un punto de $x_0 \in \mathbb{R}$ si $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$ existe pero no no es igual a $f(x_0)$. ¿Existe una función de $f$ que tiene una discontinuidad removible en $x_0$ por cada $x_0 \in \mathbb{R}$?
Comentario: si es así, podemos definir una nueva función de $\tilde{f}(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$ y parece que, al menos que $\tilde{f}$ tiene una oportunidad de luchar para ser continua en $\mathbb{R}$. Por lo tanto hemos logrado "quitado las discontinuidades" de $f$, pero, al hacerlo, hemos cambiado el valor en cada punto!
Observación: para que no piense que esto es demasiado tonto incluso seriamente contemplar, considerar la función de $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ $f(0) = 1$ y un valor distinto de cero número racional $\frac{p}{q}$, $f(\frac{p}{q}) = \frac{1}{q}$. Es fácil ver que esta función tiene límite de $0$ en cada (racional) punto!
Así que he mencionado este problema a mis alumnos. Una semana más tarde, la única persona que me ha preguntado por él en absoluto era mi Ayudante, que era un antiguo estudiante de pregrado, ni siquiera un estudiante de matemáticas, creo. (Me apresuro a añadir que esto no era en ningún sentido con honores clase de cálculo, es decir, yo estaba muy despistado en ese entonces.) De pensarlo un poco, le pregunté si él sabía sobre los innumerables conjuntos, y él dijo que no. En ese momento me di cuenta de que no tenía una solución en mente que iba a entender (por lo menos para el primer año de cálculo estudiantes) y me aconsejó que te olvides de todo.
Así que mi pregunta es: se puede resolver este problema utilizando sólo los conceptos en un sin honores de primer año de cálculo del libro de texto? (En particular, sin el uso de las nociones de la onu/countability?)
[Anexo: permítanme decir explícitamente que daría la bienvenida a una respuesta de la que procede directamente en términos de la menor cota superior de axioma. La mayoría de primer año de cálculo libros ¿ incluye esto, aunque en algún lugar oculto de la vista de los lectores, es decir, actual estudiante de primer año de cálculo estudiantes.]
Si usted no puede averiguar cómo responder a la pregunta, creo que la siguiente pregunta relacionada con la ayuda.
2) Definir una función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ a ser precontinuous si el límite existe en cada punto. Para tal función, podemos definir a la $\tilde{f}$ anterior. Demostrar/refutar que, como se sugirió anteriormente, $\tilde{f}$ es de hecho continuo. [A continuación, piensa en $f - \tilde{f}$.]
Ahora que lo pienso, hay una pequeña zona de aquí que no sé nada acerca de, por ejemplo,
3) El conjunto de discontinuidades de una función arbitraria es conocido -- cualquier $F_{\sigma}$ dentro $\mathbb{R}$ puede servir. ¿Qué podemos decir sobre el conjunto de discontinuidades de una "precontinuous función"? [Edit: desde el enlace proporcionado en Chandru1 la respuesta, vemos que es contable. ¿Qué más podemos decir? Tenga en cuenta que tomando el ejemplo anterior y se extiende por $0$ a la irrationals, vemos que el conjunto de puntos de discontinuidad de una precontinuous función puede ser densa.]
