Función continua tal que $f(x)=(f(x))^2$ % todo $x$es constante

Question

Deje $f(x)=(f(x))^2$ que es continua para cada $x \in\mathbb R$.

Prueba usando el teorema del valor intermedio que esta función es constante.

Me di cuenta de que el $f(x)$ sólo podía ser igual a : $1,0$

Sé que puedo evaluar su límite en el infinito:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=1$

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=1$

Puedo concluir nada de eso que la función es constante? Sé que existe una $c\in R$ tal que $1\le f(c) \le 1$, pero existe, no es demostrar que para todos los $c \in R$ :S

Por favor alguien puede arreglar el lío que he hecho?:)

Gracias

Answer 1

Una función continua $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ cuya imagen consiste en finito muchos puntos es constante.

De hecho, si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es constante y no constante, hay $a,b \in \mathbb{R}$ $f(a) < f(b)$. Por el teorema del valor intermedio, $f$ tomará todos los valores en el intervalo $[f(a),f(b)]$, que son infinitamente muchos valores.

Answer 2

Para observar que los dos únicos valores posibles son $0$ y $1$ es un buen comienzo.

Lo que hicieron para obtener los límites es falso.

Asumir la función toma el valor $0$ $x$ y $1$ $y$ y aplicar el teorema del valor intermedio para obtener una contradicción a la función de tomar sólo lo valores $0$ y $1$.

Entonces usted sabrá que la función es cualquier constante #% constante o $0$ #%.