¿Cómo sería una geometría con todos los axiomas usuales de la geometría euclidiana, excepto que en lugar de axioma de Pasch, hacemos negación, mira como?
Respuesta
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Para primaria geometría sin el Axioma de Pasch, cada modelo es isomorfo a un plano Cartesiano sobre formalmente real de Pitágoras semi-ordenó campo $\mathcal{F}$.
Más se puede decir si nuestra geometría tiene el pleno de segundo orden axioma de continuidad. Para, a continuación, $\mathcal{F}$ es (como un campo) isomorfo a los reales.
Ahora vamos a $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ser un no-lineal de la solución de los Cauchy funcional de la ecuación de $f(x+y)=f(x)+f(y)$ donde $f$ a y $0\lt f(1)$. Definir el orden de la relación de $\lt^\ast$ $x\lt^\ast y$ si $f(x)\lt f(y)$. A continuación, en $\lt^\ast$ ordinaria y, además, los reales de forma ordenada grupo. El plano Cartesiano sobre los reales, con el fin de la relación dada por $\lt^\ast$, es un no-Paschian modelo de la geometría con la segunda orden de continuidad.
Referencias: El uso de la funcional de Cauchy ecuación para producir un no-Paschian geometría es debido a Szczerba, la Independencia de la Pascua del Axioma(1970). Una prueba de que todos los no-Paschian geometrías con plena continuidad axioma son de la forma descrita por Szczerba fue dado por Adler, Determinateness y el Axioma de Pasch, 1971.
Comentario: El segundo resultado tiene una consecuencia interesante. Bajo condiciones adecuadas, podemos tener un modelo de ZF en el que todos los conjuntos de reales son Lebesgue medibles. En este modelo, cualquier modelo de Hilbert de segundo orden de la geometría de menos el Axioma de Pasch es automáticamente Paschian!
