¿Qué función crece más despacio que $\ln(x)$ $x \rightarrow\infty$? ¿Cómo se supone que debo encontrar además tratando de encontrar límites de todas las funciones conocidas?
Respuestas
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Ramiro
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Kyle Gannon
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Si queremos ir realmente al extremo, veamos algunos continuación suave de la función de Ackermann inversa.
También, podemos ver la inversa de una función transexponential. Una función, $f(x)$ es transexponential si existe algunos allí existe puntos $p_1, p_2,..., p_n,...$ tal que $\forall x > p_1$ $f(x) > e^x$, $\forall x > p_2$, $f(x) < e^{e^x}$, $\forall x > p_3$ $f(x) > e^{e^{e^x}}...$ la inversa de esta $f(x)$ crecerá muy lentamente.
jdods
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Tienes que definir qué significa "crece más lento que", pero supondré que desea encontrar una función $f(x)$ tal que $\frac{f(x)}{\ln x}\rightarrow 0$ $x\rightarrow\infty$ donde $f(x)\rightarrow\infty$ así.
Regla de L'Hopital es aplicable aquí para que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{\ln x}=\lim_{x\rightarrow\infty} xf'(x)$. Así trabaja una función que diverge pero cuyo derivado va a cero más rápido que $\frac{1}{x}$.
En general, que así $f'(x)=\frac{1}{x}g(x)$ que $g(x)\rightarrow0$ $x\rightarrow\infty$ y $\sum \frac{1}{n}g(n)$ diverge, entonces trabaja $f(x)=\int_a^x \frac{1}{t}g(t) dt$ $a$ convenientemente elegido.
Por ejemplo, $f(x)=\int_2^x \frac{1}{t}\frac{1}{(\ln t)^p} dt$ $0<p\leq1$ trabaja.
Zach466920
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$\ln(x)$ es monótona sobre el correspondiente intervalo. Así que, todo lo que uno tiene que hacer para encontrar una función que se asigna a $x$ a cualquier función con un derivado de menos de $1$ en el infinito.
En otras palabras,
$$\ln(f(x))$$
Donde ${{df} \over {dx}} \lt 1$ $x$ enfoques infinito.
Aquí están algunos ejemplos de las funciones que cumplen con los requisitos.
$$f(x)=\sqrt x$$ $$f(x)=e^{-x}$$
Debe tener en cuenta que,
$$\ln(f(x)) \gt \ln(x)$$
Puede sostener en el límite. Lo que importa es la tasa de crecimiento, no de la cantidad de crecimiento.
