¿Qué me falta en esta sencilla ecuación del artículo de Nesterov?

Question

En este documento del profesor Nesterov, Métodos de primer orden de optimización convexa suave con oráculo inexacto En la prueba del Teorema 2, existe la siguiente ecuación muy simple que creo que es incorrecta, \begin{align} \Vert x_{k+1}-x^*\Vert^2 = \Vert x_{k}-x^*\Vert^2 + 2\langle B(x_{k+1}-x_k),x_{k+1}-x^*\rangle -\Vert x_{k+1}-x_k\Vert^2 \end{align} (Definieron la norma como $\Vert x\Vert^2 =\langle Bx,x\rangle$ ) Obviamente, debe ser \begin{align} \Vert x_{k+1}-x^*\Vert^2 = \Vert x_k-x^*+x_{k+1}-x_{k}\Vert^2 = \Vert x_{k}-x^*\Vert^2 + 2\langle B(x_{k+1}-x_k),x_{k}-x^*\rangle \\ +\Vert x_{k+1}-x_k\Vert^2 \end{align} ¿Me estoy perdiendo algo?

Además, he comprobado la versión de la revista, Programación matemática .

Answer 1

El autor tiene razón. La norma en cuestión es inducida por el producto interno real $(x,y):=\langle Bx,y\rangle$ donde $B$ es positiva definida con respecto a $\langle\cdot,\cdot\rangle$ . Sea $u = x_{k+1} - x^\ast$ y $v = x_{k+1}-x_k$ . Entonces la ecuación está diciendo simplemente que $$ \|u\|^2 = \|u-v\|^2 + 2(v,u) - \|v\|^2, $$ que no es más que un reordenamiento de los términos de la ley del coseno $$ \|u-v\|^2 = \|u\|^2 - 2(v,u) + \|v\|^2. $$

Answer 2

Si es bilineal, la derivación es correcta.

$$2\langle B(x_{k+1}-x_k),x_k-x^*\rangle +\Vert x_{k+1}-x_k\Vert^2=$$

$$=2\langle B(x_{k+1}-x_k),x_k-x^*\rangle +2\Vert x_{k+1}-x_k\Vert ^2-\Vert x_{k+1}-x_k\Vert^2=$$

$$=2\left(\langle B(x_{k+1}-x_k),x_k-x^*\rangle +\langle B(x_{k+1}-x_k),x_{k+1}-x_k\rangle\right)-\Vert x_{k+1}-x_k\Vert^2=$$

$$=2\langle B(x_{k+1}-x_k),x_k-x^*+x_{k+1}-x_k\rangle -\Vert x_{k+1}-x_k\Vert^2=$$

$$=2\langle B(x_{k+1}-x_k),x_{k+1}-x^*\rangle -\Vert x_{k+1}-x_k\Vert^2$$