El valor de $ \sum \limits_ {k=1}^{81} \frac {1}{ \sqrt {k} + \sqrt {k+1}} = \frac {1}{ \sqrt {1} + \sqrt {2}} + \cdots + \frac {1}{ \sqrt {80} + \sqrt {81}} $ ?

Question

Hice lo que pude, pero no tengo ni idea. Lo peor es que se suponía que íbamos a llegar a la respuesta en aproximadamente $ 2 $ minutos. La respuesta correcta es $ 8 $ ¿verdad? ¿Podría explicarme cómo llegar a ella? Espero que no sea demasiada molestia. Gracias.

Answer 1

Tengan en cuenta que

$$ \frac {1}{ \sqrt {n} + \sqrt {n+1}} = \sqrt {n+1} - \sqrt {n} $$

Entonces tienes una suma telescópica

Answer 2

Como \begin {alinear} \frac {1}{ \sqrt {i}+ \sqrt {i+1}} = \frac { \sqrt {i}- \sqrt {i+1}}{ \sqrt {i}- \sqrt {i+1}} \cdot \frac {1}{ \sqrt {i}+ \sqrt {i+1}} = \frac { \sqrt {i}- \sqrt {i+1}}{-1} = { \sqrt {i+1}- \sqrt {i}} \end {alinear} Así, \begin {alinear} \sum_ {i=1}^{80} \frac {1}{ \sqrt {i}+ \sqrt {i+1}} = \sum_ {i=1}^{80} { \sqrt {i+1}- \sqrt {i}} = \sqrt {80+1} - \sqrt {1} = 8 \end {alinear}

Answer 3

$$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{1} }{(2-1)} +\ldots +\frac{\sqrt{81} - \sqrt{80} }{(81-80)}=\sqrt{81}-\sqrt{1}=9-1=8 $$