Simplemente como dice el título. He investigado un poco, pero aún no he llegado a una respuesta que me satisfaga. Sé que la respuesta varía en diferentes campos, pero en general, ¿por qué alguien estudiaría álgebra lineal?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El álgebra lineal es vital en múltiples áreas de ciencia en general. Como las ecuaciones lineales son tan fáciles de resolver, prácticamente todas las áreas de la ciencia moderna contienen modelos en los que las ecuaciones se aproximan mediante ecuaciones lineales (utilizando argumentos de expansión de Taylor) y la resolución del sistema ayuda a desarrollar la teoría. Empezar a hacer una lista no sería ni siquiera relevante ; tú y yo no tenemos ni idea de cómo la gente abusa del poder del álgebra lineal para aproximar soluciones a las ecuaciones. Como en la mayoría de los casos, resolver ecuaciones es sinónimo de resolver un problema práctico, esto puede ser MUY útil. Sólo por esto, el álgebra lineal tiene una razón de ser, y es razón suficiente para que cualquier científico sepa álgebra lineal.
Más concretamente, en matemáticas, el álgebra lineal tiene, por supuesto, su uso en el álgebra abstracta; los espacios vectoriales surgen en muchas áreas diferentes del álgebra, como la teoría de grupos, la teoría de anillos, la teoría de módulos, la teoría de representaciones, la teoría de Galois, y mucho más. La comprensión de las herramientas del álgebra lineal permite entender mejor esas teorías, y algunos teoremas del álgebra lineal requieren también la comprensión de esas teorías; están vinculadas de muchas maneras intrínsecas diferentes.
Fuera del álgebra, una gran parte del análisis, llamada análisis funcional es en realidad la versión de dimensión infinita del álgebra lineal. En dimensión infinita, la mayoría de los teoremas de dimensión finita se rompen de forma muy interesante; se conserva parte de nuestra intuición, pero la mayor parte se rompe. Por supuesto, nada de la intuición algebraica desaparece, pero sí la mayor parte de la parte analítica; las bolas cerradas nunca son compactas, las normas no siempre son equivalentes, y la estructura del espacio cambia mucho dependiendo de la norma que se utilice. Por lo tanto, incluso para alguien que estudie análisis, es vital entender el álgebra lineal.
En otras palabras, si quieres empezar a pensar, aprende primero a pensar de forma recta (lineal). =)
Espero que eso ayude,
Gregor
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Habiendo estudiado Ingeniería, puedo decir que el Álgebra Lineal es fundamental y una herramienta extremadamente poderosa en todos y cada uno de los disciplina de la Ingeniería.
Si estás leyendo esto y estás pensando en aprender álgebra lineal, primero te haré una advertencia: El álgebra lineal es una materia poderosa. ¡¡¡¡¡¡Deberías estar tan emocionado como asustado por el impresionante poder que te dará!!!!!!
En abstracto, permite manipular y comprender sistemas enteros de ecuaciones con un enorme número de dimensiones/variables sobre el papel sin ningún problema, y resolverlos computacionalmente. A continuación se presentan algunas de las relaciones del mundo real que se rigen por ecuaciones lineales y algunas de sus aplicaciones:
- Carga y desplazamientos en las estructuras
- Compatibilidad en las estructuras
- Análisis de elementos finitos (tiene aplicaciones mecánicas, eléctricas y termodinámicas)
- Tensión y deformación en más de 1-D
- Vibraciones mecánicas
- Corriente y tensión en circuitos LCR
- Pequeñas señales en circuitos no lineales = amplificadores
- Flujo en una red de tuberías
- Teoría de control (rige la evolución de los sistemas de espacio de estado en el tiempo, discreto y continuo)
- Teoría de control (el controlador óptimo se puede encontrar utilizando álgebra lineal simple)
- Teoría del control (el control predictivo por modelos depende en gran medida del álgebra lineal)
- Visión por ordenador (se utiliza para calibrar la cámara y unir las imágenes estereoscópicas)
- Aprendizaje automático (Support Vector Machine)
- Aprendizaje automático (análisis de componentes principales)
- Muchas técnicas de optimización se basan en el álgebra lineal en cuanto la dimensionalidad empieza a aumentar.
- Ajuste un polinomio arbitrario a unos datos.
Los problemas arbitrariamente grandes de los tipos enumerados anteriormente pueden convertirse en simples ecuaciones matriciales, y la mayoría de esas ecuaciones son de la forma A x = b . Casi todos los demás problemas son de la forma A x = λ x . Sí, ¡has leído bien! Casi todos los problemas de ingeniería, por enormes que sean, pueden reducirse a una de estas dos ecuaciones.
El álgebra lineal es tan potente que también se ocupa de las pequeñas desviaciones en muchos sistemas no lineales. Una forma típica de tratar un sistema no lineal en ingeniería podría ser linealizarlo y luego utilizar el álgebra lineal para entenderlo.
Sopalajo de Arrierez
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Versión TL;DR
El álgebra lineal es tu billete al espacio multidimensional. Estúdiala si te dedicas a la economía, la infografía, la física, la química, la estadística o cualquier cosa cuantitativa (en el mundo actual, eso es todo).
Significado de "Lineal" y por qué es "Fácil"
Ya que hace la pregunta, tal vez le convenga un debate sobre lo que "lineal" significa, y por qué es "fácil", como se menciona en algunas respuestas anteriores.
La palabra "lineal" debe entenderse como una función lineal (una línea) en el cálculo, como por ejemplo
$$g(x) = mx + n,$$
donde $m$ , $n$ y $x$ son números.
Sabrás que en el cálculo, el Ampliación de Taylor de una función $f$ es
$$f(x) = f(x) + f'(x)(x - x) + ½ f''(x) (x - x)^2 + \dots$$
Si se utilizan sólo los dos primeros términos de la expansión de Taylor de $f$ , tienes una aproximación lineal a tu función $f$ :
$$f(x) f(x) + f'(x)(x - x) = f'(x)x + (f(x) - f'(x)x)$$
Si se fija
$$m = f'(x), n = f(x) - f'(x)x,$$
se puede ver que se trata de una función lineal al igual que $g(x)$ . Esta aproximación funciona razonablemente bien cerca de $x$ (piense en el $\sin x$ por ejemplo). Es la aproximación más sencilla a $f$ más allá de decir "cerca de $x$ probablemente sea algo así como $f(x)$ " . Por eso la aproximación lineal se llama "fácil".
Si quieres hacerlo un poco mejor, utiliza los dos primeros términos de la expansión de Taylor de $f$ . Se obtiene una aproximación cuadrática a $f$ .
Cómo interviene el álgebra lineal
Ahora bien, ¿qué hacemos si tenemos una función que depende de varias variables (o, lo que es lo mismo, una variable $x$ que es un vector que contiene estas variables como componentes)? Esto se llama cálculo multivariante (porque, múltiples variables).
En ese caso, $f'(x)$ se convierte en un vector que hay que multiplicar (¿cómo?) con el vector $(x - x)$ . $m$ y $n$ también se convierten en vectores.
$f"(x)$ se convierte en una matriz (en realidad, un tensor bilineal) que debe multiplicarse dos veces por el vector $(x - x)$ . (¿Cómo?)
Como has visto, las aproximaciones lineal y cuadrática son las formas más fáciles de pensar en funciones complicadas $f$ .
El álgebra lineal se ocupa de los vectores, las matrices y los tensores, y de cómo operarlos entre sí para que todo tenga sentido y sea útil.
En otras palabras, el álgebra lineal es su billete al espacio multidimensional Como el espacio tridimensional que habitamos (por ejemplo, la infografía o la física) o el espacio de muchas variables del que depende una función (economía, más física).
Ejemplos
Ejemplo de economía : Precio (nuestra función $f$ ) depende de la oferta y la demanda (los dos componentes del vector bidimensional $x$ ). Si haces economía, haces álgebra lineal.
Ejemplo de política: Si se construyen más carreteras, la capacidad aumenta (es bueno para los negocios) pero la calidad de vida disminuye. La gente se aleja, lo que se traduce en más tráfico, lo que se traduce en un menor exceso de capacidad, lo que es malo para las empresas. Muchas variables y conexiones complejas conducen a un cálculo multivariado. Los sociólogos y los estudiantes de política deberían saber álgebra lineal para pensar en problemas como éste.
Ejemplo de física: Si no observas un coche en movimiento desde el exterior, sino que te sientas en el coche, estás cambiando tu marco de referencia. Esto corresponde a un cambio de base en el álgebra lineal, que naturalmente hace salir la fuerza centrífuga (y la fuerza de Coriolis) de tu expresión de fuerza.
Para el matemático
El álgebra lineal es, por supuesto, un campo muy rico en sí mismo, pero quería escribir una explicación motivadora para los aspirantes a estudiantes que aún no saben qué es y cómo es relevante para sus vidas.
Timo Geusch
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Patrick Da Silva da una buena respuesta, sin embargo voy a ampliarla. Vale la pena mirar su post cuando (o si) te metes en el Álgebra Lineal y vuelves a este post un año después o así con algunos conocimientos bajo tu cinturón, ya que puedes extender fácilmente tus estudios durante un par de años por lo que él dijo.
Su motivación inicial para estudiar álgebra lineal es juntar lo que aprende inicialmente en la geometría y el cálculo (matemático) y en el bachillerato (educativo), el colegio o incluso el primer o segundo año de universidad.
Imagina que hay una "habitación" en la que se encuentra todo lo que jugabas en los niveles superiores o en el instituto; $\sin(x), \cos(x), ln(x)$ estaban allí, una definición de campo y algo de teoría de conjuntos.
Ahora supongamos que queremos entender esta habitación. Supongamos que en lugar de mirar a cada pequeña "persona" en la habitación, sabemos que si están en esa habitación, se comportan bajo una forma específica.
Álgebra lineal (y álgebra en general) nos permite clasificar y comprender muchos objetos, situaciones, espacios, a algún contexto básico . A nivel de licenciatura, un teorema notable en Espacios de Hilbert permite identificar cualquier espacio de Hilbert separable con algún espacio de Hilbert específico y conocido. Esto es sólo el trabajo del último párrafo en la aplicación.
Por lo tanto, si quieres estructura, necesitas álgebra. Álgebra lineal específicamente para que puedas entender la estructura básica.
Una aplicación del álgebra lineal es el uso de valores propios .
Podemos entender algunos sistemas específicos; las predicciones meteorológicas, el comportamiento de las personas, las situaciones de juego, etc., y el comportamiento a largo plazo (cuando se acerca $\infty$ por así decirlo) en lugar de mirar alguna función $f(x)$ , miramos algún valor real $\lambda$ tal que $f(x)=\lambda x$ en algún momento significativo $\lambda$ .
El Álgebra Lineal nos permite empezar a entender los sistemas lineales básicos con el uso de matrices y vectores.
Por último, por una razón puramente computacional, el Álgebra Lineal te da muchas herramientas para demostrar muchos teoremas clave. El teorema de Pitágoras de dimensión infinita, la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la desigualdad de Bessel, etc., se utilizan con frecuencia en muchas áreas de las matemáticas para demostrar teoremas clave. Se trata de una buena motivación para cualquier asignatura.
Pierre Buyle
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Estoy bastante seguro de que la solución de un sistema de ecuaciones lineales y sus representaciones como matrices forman parte del álgebra lineal. Este tipo de sistemas se utilizan en casi todas las disciplinas. Además, cosas como los vectores son... demasiado omnipresentes para que pueda articularlas. El campo del álgebra lineal es la base de casi todo en la ciencia y las matemáticas superiores.
