Si la medida de la unión = suma de las medidas externas, entonces los conjuntos son medibles

Question

Estoy tratando de mostrar que para $A$ , $B \; \subset \mathbb{R}$ $A \cup B$ es medible por Lebesgue de forma que \begin{align} \infty > \mu(A \cup B) = \mu^{*}(A) + \mu^{*}(B), \end{align} Entonces $A$ y $B$ son medibles por Lebesgue.

Hasta ahora, he intentado invertir las direcciones en la prueba de Caratheodory. Parece que quiero hacer lo siguiente:

Si $A \cup B$ es medible por Lebesgue, entonces, para cualquier $E \subset \mathbb{R}$ , \begin{align} \mu^{*}(E) \geq \mu^{*}(E \cap (A \cup B)) + \mu^{*}(E \cap (A \cup B)^{c}). \end{align}

Quiero usar esto y trabajar hacia atrás desde aquí sumando y restando conjuntos para obtener

\begin{align} \mu^{*}(E) \geq \mu^{*}(E \cap A) + \mu^{*}(E \cap A^{c}). \end{align} Sin embargo, estoy teniendo problemas.

Answer 1

Para demostrar la mensurabilidad de $A$ basta con considerar únicamente $E \subset A\cup B$ . (En caso contrario, dividir $E\subset \mathbb R$ en $E\cap (A\cup B)$ más $E\cap (A\cup B)^c$ y aplicar la mensurabilidad de $A\cup B$ ).

Para $E \subset A\cup B$ , tomar medidas $G \subset A\cup B$ , de tal manera que $E\subset G$ y $\mu(G) = \mu^*(E)$ . (Esto es sólo una parte, en la que utilizamos que $\mu$ es la medida de Lebesgue). Por tanto, \begin{align} \mu^*(A) &\geqslant \mu^*(A\cap G) + \mu^*(A\cap G^c), \tag{1}\\ \mu^*(B) \geqslant \mu^*((A\cup B)\cap A^c) &\geqslant \mu^*(A^c\cap G) + \mu^*((B\setminus A)\cap G^c), \tag{2}\\ \mu(A\cup B) &= \mu(G) + \mu((A\cup B) \cap G^c). \tag{3} \end{align}

Resumen $(1)$ y $(2)$ tenemos $$ \mu(A\cup B) = \mu^*(A) + \mu^*(B) \geqslant \mu^*(A \cap G) + \mu^*(A^c \cap G) + \mu^*((A\cup B)\cap G^c) \geqslant \mu(A\cup B), $$ y la última desigualdad es efectivamente la igualdad. Restando por $(3)$ (esta es la parte en la que necesitamos la finitud) y utilizando la monotonicidad de $\mu^*$ Finalmente conseguimos $$ \mu^*(E) = \mu (G) = \mu^*(G \cap A) + \mu^*(G \cap A^c) \geqslant \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c) $$