Problema de organización: 4 parejas, 8 asientos en fila... ¿Estoy haciendo esto demasiado simple?

Question

Estoy en un curso de prob y stats... hace tiempo que no tomo uno y me gustaría que me ayudaran con estos dos problemas. Creo que probablemente estoy haciendo estos un poco dos simples.

Cuatro matrimonios han comprado 8 asientos en fila para un concierto. De cuántas maneras pueden estar sentados si:

a. si cada pareja se sienta junta? 4!2!2!2!2!= 384

b. ¿si todos los hombres se sientan juntos?

Estoy pensando en esto M1M2M3M4W1(Cualquier mujer)(Cualquier mujer)(Cualquier mujer)(Cualquier mujer) así que 4*3*2*1*4*3*2*1= 576

Answer 1

Su respuesta a la primera pregunta es correcta.

Para la segunda pregunta, piensa en los cuatro hombres como una unidad. Eso te da cinco objetos para ordenar, el bloque de cuatro hombres y las cuatro mujeres. Los cinco objetos se pueden ordenar en $5!$ formas. Dentro del bloque de cuatro hombres, los hombres se pueden organizar en $4!$ formas. Por lo tanto, hay $4!5!$ La disposición de los asientos en los que los hombres se sientan juntos.

Answer 2

Su primera respuesta es correcta: hay $4!$ maneras de ordenar las parejas, tratando cada una como una unidad, entonces se puede invertir el orden de cada miembro de una pareja, de manera que la respuesta se multiplica por $(2!)^4$ .

En cuanto a tu segunda respuesta, creo que estás subestimando la cifra. También hay que tener en cuenta configuraciones como $M_1(...\text{women}...)M_2M_3M_4$ .

Piénsalo así: primero los hombres se sientan en un bloque

oooo

hay $4!$ formas de hacerlo. Entonces las mujeres eligen un espacio entre dos hombres: hay $5$ espacios para elegir.

xoooo
oxooo
ooxoo
oooxo
oooox

Ahora ordena a las mujeres: hay $4!$ formas de hacerlo.

Así que la respuesta es $5 \cdot 4! \cdot 4!$ o $5!\cdot4!$ (pero yo preferiría la primera versión ya que enfatiza dónde está el $5$ viene).

Answer 3

A) Creo que la respuesta es correcta

b)Las mujeres pueden estar dispuestas de 4! maneras, los hombres pueden estar dispuestos de 4! maneras.
Entonces los hombres deben colocarse en una de las 5 posiciones siguientes _ W _ W _ W _

$\therefore\,$ hay $4!*4!*5 = 2880$ maneras en que todos los hombres pueden sentarse juntos.