$\lim_{p\to \infty}\Vert f\Vert_{p}=\Vert f\Vert_{\infty}$ ?

Question

Posible duplicado:
Límite de $L^p$ norma

En el $L_p$ espacios, cuando es $$\lim_{p\to \infty}\| f\|_{p}=\| f\|_{\infty}$$ ¿es cierto? ¿O qué condición es necesaria para ello?

Answer 1

Es una prueba relativamente fácil de que esto se mantiene en $L_p(X)$ para $f \in L^\infty(X)$ si $\mu (X) < \infty$ . Lo siguiente fue un ejercicio de Rudin Análisis real y complejo :

Supongamos que $\mu$ es una medida positiva en $X, \mu(X) < \infty, f \in L^\infty(\mu),||f||_\infty > 0, \text{and}$ $$a_n = \int_X|f|^n\,d\mu~(n=1,2,3,...).$$ demostrar que $$\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = ||f||_\infty$$

Que tal vez quieras tratar de desarrollar una mayor comprensión.

Answer 2

Si $\|f\|_\infty<\infty$ entonces para que se cumpla la propiedad es necesario y suficiente que exista $p<\infty$ tal que $\|f\|_p<\infty$ . La única manera de que esto se mantenga siempre es que el espacio de medidas tenga una medida total finita.

Si $\|f\|_\infty=\infty$ entonces se mantiene a pesar de todo.