¿Hay alguna mancha prueba el hecho de que un campo $F$, el Witt anillo $W(F)$ es finito si y solamente si $-1$ es una suma de cuadrados y $F^\times/F^{\times 2}$ es finito?
Respuesta
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Voy a suponer que estamos en el contexto de la "clásica" teoría algebraica de formas cuadráticas, es decir, que la característica de $F$ no $2$.
1) Supongamos $W(F)$ es finito.
a) Deje $I$ ser el ideal fundamental de la $W(F)$. A continuación,$W(F)/I \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$I/I^2 \cong F^{\times}/F^{\times 2}$. Por lo tanto $F^{\times}/F^{\times 2}$ es finito iff $W(F)/I^2$ es finita, lo que sin duda, es si $W(F)$ es finito.
b) Si $F$ fueron formalmente real -- es decir, si $-1$ es no una suma de cuadrados en $F$ - a continuación, para todos los $n$ forma $\langle 1,\ldots,1 \rangle$ es anisotrópico, y $W(F)$ sería infinito. Por lo $F$ no es formalmente real.
2) Supongamos $F$ no es formalmente real y $F^{\times}/F^{\times 2}$ es finito. Por Pfister Local-Global Principio -- véase, por ejemplo, el Teorema de 28 de estas notas -- $W(F)$ $2$- torsión abelian grupo. Pero $W(F)$ es aditiva generado por el conjunto finito $F^{\times}/F^{\times 2}$, lo $(W(F),+)$ es un finitely genera torsión abelian grupo, por lo tanto finito.
Añadido: En un comentario más abajo, el OP sugiere la siguiente prueba, que evita PLGP. Desde $F$ no es formalmente real, no existe $N \in \mathbb{Z}^+$ tal que $q_N = [1,\ldots,1]$ ($N$ veces) es isotrópica. Por lo tanto así es $a \cdot q_N$ cualquier $a \in F^{\times}$, y desde un formulario que contiene una isotrópica subformulario es isotrópico, esto implica que para cualquier $[a_1,\ldots,a_n]$ si tenemos, al menos, $N$ instancias de la misma clase square $a_i$, entonces la forma es isotrópica. Pero si $K = \# F^{\times}/F^{\times 2} < \aleph_0$, esto muestra que hay en la mayoría de las $N^K$ anisotrópico cuadráticas formas de $F$. (Tenga en cuenta que esta enlazado es fuerte para un campo finito $\mathbb{F}_q$$q \equiv 1 \pmod 4$: tenemos $N = K = 2$$\# W(\mathbb{F}_q) = 4$.)
