Supongamos, por simplicidad, que la probabilidad de ganar una ronda de este juego es $\frac{1}{2}$, y la probabilidad de perder también es $\frac{1}{2}$. (La ruleta en la vida real no es un juego, por desgracia.) Deje $X_0$ ser la inicial de la riqueza del jugador, y escribir $X_t$ de la riqueza del jugador en el momento $t$. Suponiendo que el resultado de cada ronda del juego es independiente e idénticamente distribuidas, $(X_0, X_1, X_2, \ldots)$ forma lo que se conoce como una martingala en la teoría de la probabilidad. De hecho, el uso de la apuesta-estrategia de duplicación descritos, en cualquier momento,$t$, la riqueza esperada del jugador en el momento $t + 1$ es
$$\mathbb{E} \left[ X_{t+1} \middle| X_0, X_1, \ldots, X_t \right] = X_t$$
debido a que el jugador gana o pierde una cantidad igual a la probabilidad $\frac{1}{2}$, en cada caso, y
$$\mathbb{E} \left[ \left| X_t \right| \right] < \infty$$
porque hay sólo un número finito de resultados diferentes en cada etapa.
Ahora, vamos a $T$ ser la primera vez que el jugador gana o se va a la quiebra. Esta es una variable aleatoria dependiendo de la historia completa del juego, pero se puede decir que un par de cosas acerca de ella. Por ejemplo,
$$X_T = \begin{cases} 0 & \text{ if the player goes bankrupt before winning once} \\
X_0 + 1 & \text{ if the player wins at least once} \end{casos}$$
así, por la linealidad de la espera,
$$\mathbb{E} \left[ X_T \right] = (X_0 + 1) \mathbb{P} \left[ \text{the player wins at least once} \right]$$
y por lo tanto podemos calcular la probabilidad de ganar de la siguiente manera:
$$\mathbb{P} \left[ \text{the player wins at least once} \right] = \frac{\mathbb{E} \left[ X_T \right]}{X_0 + 1}$$
Pero, ¿cómo calculamos el $\mathbb{E} \left[ X_T \right]$? Para esto, necesitamos saber que $T$ es casi sin duda finitos. Esto es claro por el análisis de casos: si el jugador gana al menos una vez, a continuación, $T$ es finito; pero el jugador no puede tener una infinita mala racha antes de ir a la quiebra. Por lo tanto podemos aplicar el opcional de frenado teorema para concluir:
$$\mathbb{E} \left[ X_T \right] = X_0$$
$$\mathbb{P} \left[ \text{the player wins at least once} \right] = \frac{X_0}{X_0 + 1}$$
En otras palabras, la probabilidad de que esta estrategia de apuestas a dar beneficios se correlaciona positivamente con la cantidad de $X_0$ de capital inicial – no hubo sorpresas!
Ahora vamos a hacer esto repetidamente. Lo notable es que tenemos otra martingala! De hecho, si $Y_n$ es el jugador de la riqueza después de jugar a $n$ serie de este juego, entonces
$$\mathbb{E} \left[ Y_{n+1} \middle| Y_0, Y_1, \ldots, Y_n \right] = 0 \cdot \frac{1}{Y_n + 1} + (Y_n + 1) \cdot \frac{Y_n}{Y_n + 1} = Y_n$$
por la linealidad de la expectativa, y obviamente
$$\mathbb{E} \left[ \left| Y_n \right| \right] \le Y_0 + n < \infty$$
debido a $Y_n$ es $0$ o $Y_{n-1} + 1$.
Deje $T_k$ ser la primera vez que el jugador obtiene una ganancia de $k$ o va a la quiebra. Así,
$$Y_{T_k} = \begin{cases} 0 && \text{ if the player goes bankrupt} \\
Y_0 + k && \text{ if the player earns a profit of } k \end{casos}$$
y de nuevo se le puede aplicar el mismo análisis para determinar que
$$\mathbb{P} \left[ \text{the player earns a profit of $k$ before going bankrupt } \right] = \frac{Y_0}{Y_0 + k}$$
lo que no es demasiado sorprendente – si el jugador es codicioso y quiere obtener un mayor beneficio, entonces el jugador tiene que jugar más de la serie de juegos, aumentando así sus posibilidades de ir a la quiebra.
Pero lo que realmente queremos calcular es la probabilidad de ir a la quiebra. Puedo reclamar esto ocurre con probabilidad de $1$. En efecto, si el jugador pierde ni una sola vez, entonces él ya está en quiebra, por lo que la única manera de que el jugador podría evitar ir a la quiebra es si él tiene una infinita racha ganadora; la probabilidad de que esto ocurra es
$$\frac{Y_0}{Y_0 + 1} \cdot \frac{Y_0 + 1}{Y_0 + 2} \cdot \frac{Y_0 + 2}{Y_0 + 3} \cdot \cdots = \lim_{n \to \infty} \frac{Y_0}{Y_0 + n} = 0$$
como se reivindica. Por lo que esta estrategia casi seguro que conduce a la ruina.
