Teoría de conjunto de la prueba directa.

Question

Bueno, yo estoy en primer año de la Matemática Discreta curso en la universidad y luchando para mantener el ritmo, y la necesidad de ayuda adicional. Estamos aprendiendo sobre demostrando conjunto de relaciones y no puedo seguir con mi profesor de ritmo. Voy a meterme en el problema me parece que no puede entender.

(No sé cómo mostrar la anotación adecuada, pero creo que esta explicación en palabras serán lo suficientemente claro, es muy sencillo)

"Vamos a y B conjuntos. Demostrar que Una unión B es igual a a si y sólo si B es un subconjunto de A."

La forma en que mi profesor eligió resolver esto fue por la división de la bicondicional en sus dos implicaciones, y prueba de ellos por separado. Esta división es muy sencillo; lo entiendo. Los dos implicaciones son "si Un sindicato B es igual a A, entonces B es un subconjunto de A", y "si B es un subconjunto de a, entonces Una unión B equivale a Una".

Entonces mi profesor dice que para probar cada uno de implicación, vamos a suponer que el antecedente (la esperanza de que es la palabra correcta) es verdadera y, a continuación, ver si el consecuente es verdadero. Ella lo describe como una prueba directa. Esto es lo que no entiendo. Me parece que no puede a la razón en mi mente por lo que este método funciona, o cómo aplicar en la práctica. Estoy seguro de que es simple, pero mi profesor solo habla demasiado rápido para mí, para seguir lo que ella dice, y me parece que no puede averiguar esto por mi cuenta.

Así que si lo poco que entiendo es correcta, entonces primero debe asumir que "A unión B es igual a a" es verdadero, y a ver si se sigue que "B es un subconjunto de un" también es cierto. Pero para ponerlo simplemente, no tengo idea de qué hacer desde aquí.

Entiendo que esto suena como "por Favor, hacer mi tarea para mí", pero realmente estoy pidiendo "por Favor, enséñame cómo hacer frente a problemas como este, así que puedo hacerlo por mi cuenta en el futuro."

Answer 1

Supongamos que $A \cup B = A$. Mostraremos que $B \subseteq A$. Seleccionar $b \in B$. Observe que $b \in B \subseteq A \cup B = A$, donde la igualdad viene de la primera frase. Tenemos $b \in A \cup B$. Desde $A \cup B = A$ tenemos $b \in A$. Trate de hacer la otra mitad del problema.

Answer 2

La estrategia general que se puede utilizar para resolver estos problemas es que aunque las declaraciones de problema son acerca de los conjuntos, las pruebas implican generalmente los elementos de los conjuntos, como en enfoque excelente de Jay. Necesita conseguir bajo el capó y seguir el giro y golpeteo pedacitos.

Answer 3

En general, cuando queremos demostrar a $P\implies Q$, suponemos $P$ es verdadera y, a continuación, intente probar $Q$. Si $P$ eran falsos, a continuación, la implicación es vacuously verdadero.

La instrucción es: $A\cup B =A\iff B\subseteq A$ o, equivalentemente, $(A\cup B =A\implies B\subseteq A)\land (B\subseteq A\implies A\cup B =A)$.

Así, tratamos de probar por separado $A\cup B =A\implies B\subseteq A$$B\subseteq A\implies A\cup B =A$.

Para demostrar la primera declaración, supongamos $A\cup B=A$ es cierto. Para mostrar $B\subseteq A$, suponemos $x$ a ser un elemento arbitrario de $B$ y, a continuación, intente probar $x\in A$. (Tenga en cuenta que si $B$ fue la nula se establece, la instrucción se convierte en$\emptyset\subseteq A$, lo que siempre es cierto). Ahora ya $x\in B$, $x\in A\cup B$ y ya $A\cup B=A$, $x\in A$ lo que demuestra esta afirmación.

Para probar la segunda, de nuevo, supongamos que el antecedente, es decir,$B\subseteq A$. Para demostrar $A\cup B=A$, tenemos que demostrar $A\cup B\subseteq A$$A\subseteq A\cup B$. Para demostrar $A\cup B\subseteq A$, supongamos $x\in A\cup B$. A continuación, cualquiera de $x\in A$ o $x\in B$. Si $x\in B$, luego de $B\subseteq A$, llegamos a la conclusión de $x\in A$. Desde ambos casos implica $x\in A$, $A\cup B\subseteq A$ es cierto. La segunda declaración, $A\subseteq A\cup B$ sigue inmediatamente, ya que si $x\in A$$x\in A\cup B$.

Así que hemos demostrado $A\cup B\subseteq A$ $A\subseteq A\cup B$ es verdadero, y por lo tanto $A\cup B=A$ es cierto.