Numerable$A \subseteq \mathbb{R}$ satisfacer$(x+A) \cap A = \emptyset$

Question

Tengo que probar que

Si$A \subseteq \mathbb{R}$ es numerable, entonces$\exists x \in \mathbb{R}. (x+A) \cap A = \emptyset $

donde$(x+A)$ denota el conjunto$\{x + a |\: a \in A\}$.

Puedo ver por qué esto es cierto para algunos subgrupos específicos (como el conjunto de los racionales o el conjunto de números algebraicos), pero el enfoque general se me escapa. ¿Alguna pista sería apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que$x+A$ y$A$ reúna si y sólo si hay$y,z\in A$ con$x+y=z$, por lo que$x=z-y$. Esto significa que$(x+A)\cap A\ne\emptyset$ #%% si y sólo si #%, que es un conjunto numerable, ya que es la imagen de$x\in A-A$ bajo el mapa$A\times A$.

Por lo tanto, ya que$(y,z)\mapsto y-z$ es incontable, podemos encontrar los valores de$\mathbb R$ no en$x$, y cualquiera de dichas$A-A$ trabaja.

Answer 2

Supongamos que la conclusión no se sostiene: es decir, para todos los$x$ en$\mathbb{R}$, hay elementos$a_x$ y$b_x$ de$A$ tal que$x+a_x=b_x$. Esto define una inyección de$\mathbb{R}$ a$A^2$: solo mapa$x$ a$(a_x,b_x)$. Así$|\mathbb{R}|\le |A^2|$, por lo$|A|\ge |\mathbb{R}|$ y, en particular$A$ es incontable.