Una métrica sobre $\mathbb{R}^n$ tal que $d(\lambda x, \lambda y)=|\lambda| d(x,y)$ que no es inducido por una norma

Question

Dejemos que $V=\mathbb{R}^n$ .
Dejemos que $d:V \times V\rightarrow \mathbb{R}$ una métrica sobre $\mathbb{R}^n$ .
Supongamos que para cualquier $x,y\in V$ y $\lambda \in \mathbb{R}$ tenemos $d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda|d(x,y)$ .
Es $d$ necesariamente inducido por una norma?

Motivación : He estado pensando en $\pi$ y pensó por qué la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio es constante. La prueba es fácil y es aplicable a cualquier norma. Creo que la condición de "homogeneidad positiva" que planteé sobre la métrica más arriba es suficiente para que esta relación sea constante.

Answer 1

La respuesta es no. Se necesita también la invariancia traslacional; entonces es un teorema bastante conocido (véase, por ejemplo aquí ).

Como contraejemplo al dejar de lado la invarianza traslacional, considere:

$$d: \Bbb R^n \times \Bbb R^n \to \Bbb R_{\ge 0}: d (x,y)=\begin{cases} \|x\|+\|y\| & \text{if $ x \ne y $}\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$

Esta métrica se denomina a veces "métrica del sistema ferroviario francés", aunque existen métricas similares con el mismo nombre (véanse los comentarios).