Supongamos$dX_t = a(X_t) dt + b(X_t) dW_t$ y$Y_s=X_t$ donde$s=t^2$. Lo que no SDE$Y_s$ satisface en el sentido débil? Pista: calcular el$E[ dY | \mathcal{F}_s]$ donde$dY = Y_{s-ds} - Y_s$.
Se trata de un curso de edad y se puede encontrar aquí como cuestión 21.
¿Alguien tiene ideas sobre cómo abordar esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje$h(t) = \int_0^t h'(s) ds$ sea una función absolutamente continua con$h'>0$. Entonces$\{V_t = W_{h(t)},t\ge 0 \}$ tiene la misma distribución que$\int_0^t \sqrt{h'(s)} dW_s$.
Para$Y_s = X_{h(s)}$, escribir $$ dY_s = Y_ {s ds} - Y_s = X_ {h (s) h '(s) ds} - X_ {h (s)} = a (X_ {h ( s)}) h '(s) ds b (X_ {h (s)}) dV_s \\ = a (Y_s) h' (s) ds b) Y_s dV_s (. $$ Por lo tanto, por el comentario anterior,$Y$ es una solución débil a $$ dY_s = a (Y_s) h '(s) ds b (Y_s) \ sqrt {h'} (s) dW_s. $$
