¿Existe una versión del teorema del círculo de Gershgorin que sea adecuada para las matrices casi triangulares?

Question

El teorema del círculo de Gershgorin, http://en.wikipedia.org/wiki/Gershgorin_circle_theorem da límites a los valores propios de una matriz cuadrada, y funciona bien para matrices casi diagonales.

Sin embargo, para una matriz triangular, los límites no son útiles en general, a pesar de que se sabe que los valores propios son los elementos diagonales. ¿Existe una versión (o puede alguien desarrollar una versión) del teorema del círculo de Gershgorin que ofrezca límites más útiles en el caso casi triangular?

Answer 1

Si $A = (a_{ij})$ es su $n \times n$ matriz, y $\alpha > 0$ , dejemos que $R_i(\alpha) = \sum_{j \ne i} \alpha^{i-j} |a_{ij}|$ . Entonces cada valor propio $\lambda$ tiene $|\lambda - a_{ii}| \le R_i(\alpha)$ para algunos $i$ . Tenga en cuenta que si $A$ es triangular superior, $R_i(\alpha) \to 0$ como $\alpha \to \infty$ por lo que obtenemos los valores propios exactamente en ese límite.

Esto no es más que el teorema de Gershgorin normal aplicado a $U A U^{-1}$ donde $U$ es la matriz diagonal con entradas $u_{ii} = \alpha^i$ .

Answer 2

Hay una diferencia entre las matrices diagonales y las triangulares. Las matrices diagonales son normales, por lo que sus valores propios están bien condicionados. El teorema de Gershgorin lo hace explícito. Las matrices triangulares no son necesariamente normales, por lo que sus valores propios pueden estar mal condicionados. Ejemplo explícito: los valores propios de $\bigl[ \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ \epsilon & 0 \end{smallmatrix} \bigr]$ son $\pm\sqrt\epsilon$ .

Esto significa que los resultados de las perturbaciones para las matrices triangulares no pueden ser tan sólidos como para las matrices diagonales. El teorema de Gershgorin puede formularse como sigue: Si $D$ es una matriz diagonal, entonces los valores propios de $D+E$ están dentro de $|E|_1$ de los valores propios de $D$ donde la norma se define por $|E|_1 = \sum_{i,j} |e_{ij}|$ . Sin embargo, el ejemplo muestra que no puede haber un teorema de la forma: Si $T$ es una matriz triangular, entonces los valores propios de $T+E$ están dentro de $C|E|_*$ de los valores propios de $T$ (para alguna norma $|\cdot|_*$ y alguna constante $C$ ).