¿Cómo se puede demostrar que
ps
ps Mathematica da una buena aproximación.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje que el deseado integral se denota por a $I$. Tomando nota de que $1-(2t-1)^2=4t(1-t)$ vemos que $$ I=4\int_{\square}\frac{-\log(1-(2x-1)^2)+\log(1-(2y-1)^2)}{(2x-1)^2-(2y-1)^2}dxdy\quad\hbox{con $\square=[0,1]^2$}. $$ Pero, para $t\in(-1,1)$, tenemos $$ -\log(1-(2t-1)^2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(2t-1)^{2n}}{n} $$ Así que el integrando se convierte, por $(x,y)\in(0,1)^2$, $$\eqalign{ \frac{-\log(1-(2x-1)^2)+\log(1-(2y-1)^2)}{(2x-1)^2-(2y-1)^2}&=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\cdot\frac{(2x-1)^{2n}-(2y-1)^{2n}}{(2x-1)^2-(2y-1)^2}\cr &=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(2x-1)^{2k}(2y-1)^{2n-2k-2} } $$ Así $$\eqalign{ I&=4\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\int_\square (2x-1)^{2k}(2y-1)^{2n-2k-2}dxdy\right)\cr &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^1 2(2x-1)^{2k}dx\int_0^12(2y-1)^{2n-2k-2}dy\right)\cr Y=4 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}\cdot\frac{1}{2n-2k-1}\right)\cr Y=4 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n-2k-1}\right)\cr Y=4 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^2}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2n-2k-1}\right)\cr Y=4 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+1}\right)\cr Y=4 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=1}^{2n-1}\frac{\sin^2(\pi k/2)}{k}\right)\cr Y=16 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^2}\left(\sum_{k=1}^{2n-1}\frac{\sin^2(\pi k/2)}{k}\right)\cr Y=8\sum_{n=1}^\infty\frac{1+(-1)^n}{n^2}\left(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\sin^2(\pi k/2)}{k}\right)=8(a-B) } $$ donde $$ A=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\sin^2(\pi k/2)}{k}\right), \qquad B=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\left(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\sin^2(\pi k/2)}{k}\right) $$ Estas sumas son conocidos, con la notación de La evaluación de su Carácter de Euler Doble Sumas tenemos $A=[1,2a](2,1)$$B=[2b,2a](2,1)$, y este artículo nos da $$ A-B=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(2k+1)^3}=\frac{7}{8}\zeta(3). $$
Así, el derecho de respuesta es $I=7\zeta(3)$.
