Alucinante $Power\, Set$ de $\Bbb R^2$

Question

Todavía en algunos de mis primeros encuentros con los conceptos elementales de la Teoría de Conjuntos, entiendo lo que la Conjunto de energía de un conjunto, pero me cuesta entender qué implica la definición en el caso de un conjunto como $\Bbb R^2$ .

Entiendo que cualquier función $f:\Bbb R \rightarrow \Bbb R$ es un subconjunto de $\Bbb R^2$

$$\lbrace (x,f(x)): x\in\Bbb R\rbrace \subseteq \Bbb R^2$$

y también puedo ver por qué esto se extiende a cualquier conjunto de puntos en el plano cartesiano

$$\lbrace (x,y): x\in\Bbb R \wedge y \in\Bbb R\rbrace \subseteq \Bbb R^2$$

pero luego, cuando pienso en lo que esto podría significar, mi cerebro empieza a doler un poco. Si puedo pensar en algo y luego escribir que algo o hacer un croquis de ella, se convierte en una colección de puntos en un plano ergo, por $\lbrace (x,y): x\in\Bbb R \wedge y \in\Bbb R\rbrace \subseteq \Bbb R^2$ es un elemento de $\mathscr P(\Bbb R^2)$ .

¿Implica eso que cualquier dibujo, texto, plano, mapa o incluso este post podría considerarse un subconjunto de $\Bbb R^2$ tal que $\mathscr P(\Bbb R^2)$ contiene cualquier $2$ -¿Objeto?

Dado que puedo hacer un boceto de la mayoría de las cosas en las que puedo pensar, ¿significa eso que $\mathscr P(\Bbb R^2)$ contiene cualquier cosa que pueda pensar y dibujar e incluso cualquier cosa que pueda dibujar pero que nunca pensará también?

Gracias por tomarse el tiempo de dar su opinión, ¡lo aprecio mucho!

Answer 1

Piénsalo así: cualquier subconjunto de $\Bbb R ^2$ es cualquier colección de puntos en un plano 2D. Así que, como una línea o un círculo pueden considerarse una colección de puntos en el plano (de hecho, así es como se suelen definir), están en el conjunto de potencias. Como cualquier cosa que se pueda dibujar puede describirse como una colección de puntos, el conjunto de pares de coordenadas que componen el dibujo también está en el conjunto de potencias.