Definición del polinomio característico

Question

Mi libro de texto define el polinomio característico de un $n \times n$ -matriz $A$ como:

$$p_A = \text{det}(A-XI_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sign } \sigma. (a_{1\sigma(1)}-X\delta_{1\sigma(1)})...(a_{n\sigma(n)}-X\delta_{n\sigma(n)})$$

(donde $S_n$ es el grupo simétrico). Entonces sólo afirma que al reordenar según las potencias de $X$ obtenemos la forma

$$p_A = a_0+a_1X+...+a_{n-1}X^{n-1}+a_nX^n$$ con coeficientes $a_i$ de un campo, donde $a_0=\text{det } A$ , $a_{n-1}=(-1)^{n-1}. \text{tr}(A)$ y $a_n=(-1)^n$ .

¿Podría alguien aclarar cómo se obtiene esta fórmula a partir de la definición?

Answer 1

Estas ecuaciones son la consecuencia de desarrollar el producto en el lado derecho de la ecuación $$p_A = \text{det}(A-XI_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sign } \sigma. (a_{1\sigma(1)}-X\delta_{1\sigma(1)})...(a_{n\sigma(n)}-X\delta_{n\sigma(n)})$$

1. $a_0=\text{det } A$

en el producto $$(a_{1\sigma(1)}-X\delta_{1\sigma(1)})...(a_{n\sigma(n)}-X\delta_{n\sigma(n)})$$ el único término sin $X$ El factor es $$a_{1\sigma(1)}...a_{n\sigma(n)}.$$ De ahí que el único término sin $X$ en factor en $$p_A = \text{det}(A-XI_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sign } \sigma. (a_{1\sigma(1)}-X\delta_{1\sigma(1)})...(a_{n\sigma(n)}-X\delta_{n\sigma(n)})$$ es $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign } \sigma. a_{1\sigma(1)}...a_{n\sigma(n)} = \det A.$$

2. $a_{n-1}=(-1)^{n-1}. \text{tr}(A)$

Desarrollar el producto $$(a_{1\sigma(1)}-X\delta_{1\sigma(1)})...(a_{n\sigma(n)}-X\delta_{n\sigma(n)})$$ el término con poder $X^{n-1}$ es $$\sum_{i=1}^n a_{i\sigma(i)} (-1)^{n-1}[\delta_{1 \sigma(1)} \dots \delta_{n \sigma(n)}]_i$$ donde $[\delta_{1 \sigma(1)} \dots \delta_{n \sigma(n)}]_i$ es el producto del $\delta_{j \sigma(j)}$ para $1 \le j \le n$ con el término $\delta_{i \sigma(i)}$ desaparecida. Pero $[\delta_{1 \sigma(1)} \dots \delta_{n \sigma(n)}]_i$ no se desvanece si y sólo si $\sigma$ es la identidad. Por lo tanto, $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign } \sigma. \sum_{i=1}^n a_{i\sigma(i)} (-1)^{n-1}[\delta_{1 \sigma(1)} \dots \delta_{n \sigma(n)}]_i = (-1)^{n-1} \sum_{i=1}^n a_{ii}=(-1)^{n-1} \text{tr} A$$

3. $a_n=(-1)^n$

Aquí, el desarrollo del producto $$(a_{1\sigma(1)}-X\delta_{1\sigma(1)})...(a_{n\sigma(n)}-X\delta_{n\sigma(n)}),$$ el único término con $X^n$ en el factor es $(-1)^n \delta_{1 \sigma(1)} \dots \delta_{n \sigma(n)}$ que no se desvanece sólo si $\sigma$ es la identidad. Y en ese caso, se obtiene en la suma $(-1)^n X^n$ como término único con $x^n$ en el factor.

Answer 2

El término $a_0$ no tiene ningún factor de $X$ . Entonces, mira cada sumando $(a_{1\sigma(1)} - X \delta_{a\sigma(a)}) \cdots (a_{n\sigma(n)}-X \delta_{n\sigma(n)})$ en cada factor de ese producto elija el primer término $a_{i\sigma(i)}$ de ese factor e ignorar el otro término $X\delta_{i\sigma(i)}$ . Usted obtiene $a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$ . Suma estos con el signo apropiado y obtienes el determinante.

El término $a_{n-1} X^{n-1}$ tiene $n-1$ factores $X$ . Entonces, mira cada sumando $(a_{1\sigma(1)} - X \delta_{a\sigma(a)}) \cdots (a_{n\sigma(n)}-X \delta_{n\sigma(n)})$ , elija $n-1$ factores de ese producto, en cada uno de esos factores elegidos elija el $X \delta_{i\sigma(i)}$ término de ese factor, y en cada factor elegido asegúrese de que $i=\sigma(i)$ o de lo contrario no obtendrá el factor de $X$ que quieres. De ello se desprende que $\sigma$ debe ser la identidad para obtener algo distinto de cero. Así que (hasta el signo) el término $a_{n-1} X^{n-1}$ equivale a $a_{11} X^{n-1} + a_{22} X^{n-1} + \cdots + a_{nn} X^{n-1} = \text{tr}(A) X^{n-1}$ . El cartel debe ser $(-1)^{n-1}$ porque el $n-1$ factores elegidos $X \delta_{i\sigma(i)}$ cada uno viene con un signo menos delante.

Si sigues esos, te dejo que sigas $a_n = (-1)^n$ .