¿Es posible dividir la línea real en dos espacios disjuntos totalmente desconectados de igual cardinalidad?

Question

¿Es posible tomar explícitamente $ \mathbb R$ y dividirlo en dos conjuntos (digamos $\mathbb A$ y $\mathbb B$ ), que son : disjuntos ( $\mathbb A \cap \mathbb B = \emptyset$ ), totalmente desconectados (es decir, que no contienen intervalos abiertos) (EDIT:) y para todos los intervalos $(a,b)$ , $|\mathbb A \cap (a,b)| = |\mathbb B \cap (a,b)| = \mathfrak c$

Le pregunté a mi profesor de teoría de la medida, y me dijo que no se le ocurría por qué esa construcción sería imposible, pero siempre que intento crear esos dos conjuntos termino con puntos indefinibles, ni una búsqueda en Internet me reveló nada al respecto.

Answer 1

Dejemos que $$\mathbb A=C+\mathbb Q=\{x+y:x\in C,\ y\in\mathbb Q\}$$ donde $C$ es el conjunto de Cantor, y sea $\mathbb B=\mathbb R\setminus\mathbb A.$

Desde $\mathbb A$ y $\mathbb B$ son conjuntos de Borel ( $F_\sigma$ y $G_\delta$ respectivamente), bastará con demostrar que $\mathbb A\cap(a,b)$ y $\mathbb B\cap(a,b)$ son incontables.

Desde $\mathbb A$ tiene medida cero (como la unión de un número contable de traslados de $C$ ), $\mathbb B\cap(a,b)$ tiene medida positiva, por lo que es incontable.

Elija $q\in\mathbb Q\cap(a,b).$ Dado que cada barrio de $0$ contiene incontables puntos de $C,$ cada barrio de $q$ contiene incontables puntos del conjunto $C+q;$ en particular, el intervalo $(a,b)$ contiene incontables puntos del conjunto $C+q\subseteq C+\mathbb Q=\mathbb A.$

Answer 2

Considere el conjunto $$\big( (-\infty, 0) \cap \Bbb Q \big) \cup \big([0, \infty) \cap (\Bbb R - \Bbb Q) \big)$$ ---es decir, la unión de los racionales negativos y los irracionales no negativos--- y su complemento.

Answer 3

Sí:

$$A= \{ x=b.b_1b_2..b_n... | 0.b_2b_4b_6... \in \mathbb Q \} \\ B= \{ x=b.b_1b_2..b_n... | 0.b_2b_4b_6... \notin \mathbb Q \} $$

Para cualquier intervalo $(a,b)$ es fácil construir en funciones a partir de $A \cap(a,b) , B \cap(a,b) $ a $(0,1)$ .

De hecho, escoge algunos $a < \frac{k}{10^{2n}} < \frac{k+1}{10^{2n}} < b$ y demostrar que $$ x=b.b_1b_2..b_n... \to 0.b_{2n+1}b_{2n+3}...$$ es una función de $A \cap(a,b)$ y $B \cap(a,b) $ a $(0,1)$ .

Este ejemplo tiene las raíces en el ejemplo de una función discontinua con la PIV que aparece en Sierpiński (creo).