Dominio de definición

Question

Una función polinómica es dado como:

$P(x)= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+.....+a_1x+a_0$

Aviso el plazo $a_1x$. Este término es una forma simplificada de $a_{n-(n-1)}x^{n-(n-1)}$.

Ahora vamos a tomar el último término del Polinomio. El plazo $a_0$ es una forma simplificada de $a_{n-n}x^{n-n}$. Observe que $x^{n-n} = x^0 = 1$ sólo al $x\neq0$. Esto es debido a que $0^0$ es indeterminado. Es evidente que $x=0$ es claramente no está en el dominio de $P(x)$. Pero por definición, la función polinómica dada es definida para todos los valores de $x$, $x\in(-\infty,\infty)$.

Estaba yo a la derecha para enmarcar el último término del polinomio de la forma en que lo hice anteriormente? Si no, me gustaría saber por qué.

Answer 1

Esto es debido a que $0^0$ es indeterminado.

Este es un muy común error de concepto. Hay una gran diferencia entre el$0^0$, y la forma de un límite, que puede ser etiquetado como "$0^0$" (nótese las comillas!), así como hay una diferencia entre el $\frac00$ y el formulario "$\frac00$" de algunos límites.

Aquí están los hechos bajo el estándar de matemáticas:

$0^0 = 1$ en los contextos donde el exponente es un número natural.

"$0^0$" es una etiqueta que se refiere a una forma indeterminada de algunos límites.

$\frac00$ es indefinido.

"$\frac00$" es una etiqueta que se refiere a otra forma indeterminada de algunos límites.

Límites con el formulario "$0^0$" o "$\frac00$" puede tener un valor o no. Esa es precisamente la razón por la que llamamos su forma indeterminada, porque no podemos determinar el valor tan fácilmente por su forma por sí solo.

$0^0$ es no es un límite, y si el exponente es un número natural (como para los anillos o en la combinatoria o en el teorema del binomio o en el poder de la serie, o...), a continuación, su valor siempre es $1$.

Si usted no cree esto, consulte la convencional de la declaración de el teorema del binomio aquí y aquí (ecuación 4) y la definición de potencia de la serie aquí y aquí.

Answer 2

Sobre ponderar aún más esta buena pregunta, creo que parte del problema es que no tenemos nombre las funciones $x\mapsto x^n$. Una limpia manera de conseguir alrededor de la dificultad podría ser la siguiente:

Definir funciones $P_n$ $n$ de no negativo números enteros inductivo como sigue: % todo $x$, $P_0(x)=1$ y $n\ge0$ $P_{n+1}(x)=xP_n(x)$ definir. Verás que esto hace la función constante $P_0$, que $1$ y $n>0$, $P_n(x)=x^n$.

Entonces la función puede escribirse $\sum_{i=0}^na_iP_i\>$.

Answer 3

Terminé mi maestría matemáticas hace dos años y en las ramas que he estudiado, me no he topado nunca con la idea de que $0^0$ debe ser indefinido.

Yo siempre considere $0^0$ $1$.

Para mayor explicación, ver la pregunta se relaciona por Hans Lundmark en su comentario: cero a la cero potencia - es $0^0=1$?

Answer 4

Formalmente, usted está absolutamente en lo correcto. $0^0$ es una forma indeterminada. Pero considerar un aparentemente no relacionadas con el caso:

$$f(x)=\frac{x}{x}.$$

Esta unidad me encanta, porque es claramente la misma manera que la función de $g(x)=1$ ... ¿verdad? La respuesta es no, pero sólo en una forma que es asquerosamente técnica. Similar a tu caso, $f(0)$ es técnicamente una forma indeterminada. El problema es el de la división de $0$$0$. Por lo tanto las funciones $f(x)$ $g(x)$ no pueden ser iguales porque tienen diferentes dominios. Sin embargo, hay una forma de evitar esto. Considere la posibilidad de, en lugar de definir una nueva función de $h$ de esta manera:

$h(x)= \frac{x}{x}$ si $x\neq 0$, e $h(x)=1$ si $x=0$. Ahora, hemos eliminado el problema con $0$ y se define una función verdaderamente igual a $g(x)=1$ en todas partes.

En su problema, $a_0$ no es realmente igual a $a_0x^0$ porque esas expresiones tienen diferentes dominios. Específicamente, $0$ está en el dominio de la primera, pero no de la segunda. Sin embargo, cuando la gente habla de $a_0$ como "la $0$-fin de plazo", que están haciendo que, por razones que son intuitivamente útil, no razones que son matemáticamente formal. Y siempre es útil recordar que la $a_0\neq a_0x^0$ en general, pero que $a_0= a_0x^0$ al $x\neq 0$.

¿Esta ayuda? Por favor pida una aclaración si usted lo necesita, ya que no es solo un punto importante, pero muestra gran matemático visión de su parte. Me gustaba pensar acerca de ello.

Answer 5

La forma general de un polinomio ($p(x)$) de grado $n$ hecho puede ser escrita como:

\begin{align} p(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \cdots +a_1x +a_0 , \qquad a_n \ne 0 \end{align} Ahora bien, creo que vi algunas de las tendencias y tratado de escribir en una forma más compacta: \begin{align} p(x) = a_{n-0} x^{n-0}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots + a_{n-(n-1)}x^{n-(n-1)} + a_{n-(n)}x^{n-(n)}= \sum_{i=0}^{n} a_{n-i}x^{n-i} \end{align} Y se están ejecutando en problemas con ese último término. La primera ecuación anterior es la forma correcta de pensar de un polinomio y en la que se propone es sólo un compactado manera de escribir que es casi siempre equivalentes, excepto para el último período.

No es la forma correcta marco de un polinomio. La razón por la que usted podría decir que es exactamente la razón por la que di cuenta: no es equivalente a la definición del polinomio (debido a $x^0$ no es así se define al$x=0$, por lo que el formulario no está bien definido cuando se $x=0$ sin embargo, la definición no tener problemas cuando se $x=0$)