Estoy preguntándome si existe un símbolo matemático que indique que un valor es ligeramente mayor o ligeramente menor que otro valor. Sé que hay un símbolo que indica que un valor es mucho mayor o mucho menor que otro valor:
$$a\gg b \qquad\text{or}\qquad a\ll b$$
Me pregunto si hay un equivalente a esto, que indique:
$$a\,\text{ es ligeramente mayor que }\, b \qquad\text{or}\qquad a \,\text{ es ligeramente menor que }\, b$$
Mientras que esto es ciertamente convencional, aún se espera que definas $\epsilon$ en algún lugar del texto acompañante (quizás junto con las definiciones de a y b). De lo contrario, no tengo idea si te refieres a "algún número real pequeño", o algún tipo de infinitesimal hiperreal, o incluso algo realmente exótico como los números duales.
@Kevin el significado es "algún número real pequeño" cuando está claro por el contexto, que lo es fuera del análisis hiperreal o similar.
@Kevin: Yo asumiría casi siempre que significa "algún número real pequeño" (¿no has escuchado la broma famosa? "deja que $\epsilon<0$"). Pero también, interpretaría las otras posibilidades que mencionas como formalismos para representar cantidades infinitamente pequeñas de todas formas, por lo que el significado conceptual es más o menos el mismo (de acuerdo, podrías tomar un infinitesimal negativo, pero ¿por qué lo harías?).
En mi opinión, una respuesta muy pobre y denigrante. $\lesssim$ y $\gtrsim$ son utilizados.
De hecho, $\gg$ es bastante estándar ahora, como lo demuestra el hecho de que Latex tenga un símbolo específico para ello, recordado por @Henry W.
@JeanMarie: hay una gran cantidad de símbolos en Latex, por lo que es una noción bastante débil de estándar. Desde mi escasa experiencia, parece ser más un estándar de física que de matemáticas.
Como matemático, tiendo a leer '$a \gg b$' como una hipótesis que significa que '$a$ es suficientemente grande en comparación con $b$', es decir, hay alguna función (potencialmente de crecimiento extremadamente rápido o incluso no constructiva) $f$ tal que si $a > f(b)$, entonces el resto del argumento funciona. O podría significar que $a$ es inalcanzable desde $b$ en algún sentido preciso, por ejemplo, en análisis no estándar podría significar que $a$ excede cada múltiplo finito de $b'. Sin embargo, tendrías que especificar la convención en algún lugar.
Si deseas incluir casos donde b y/o a son negativos, quizás 0<(a-b)<<1 podría funcionar mejor. Supongo que este no es un símbolo (que en el caso de esta pregunta se está utilizando para representar una operación de notación infija) pero representa de manera bastante concisa lo que se intenta transmitir con el símbolo deseado.
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Quizás
\lesssim$\,\lesssim\,$ o\lessapprox$\,\lessapprox\,$?15 votos
@dxiv: Interpretaría eso como "A es menor que B o aproximadamente igual a B" (o equivalentemente, "A no es sustancialmente mayor que B").
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@Kevin Me sorprendería si alguno de esos se usara en contextos donde $A \gt B$ fuera remotamente posible. Dicho esto, no tengo una referencia autorizada a mano, por eso lo publiqué solo como un comentario.
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@dxiv En el estudio de las EDP, por ejemplo, $A\lesssim B$ significa que hay una constante $C>0$ tal que $A\leq CB$. No tiene sentido para números individuales $A,B\in\mathbb R$; el punto es que la constante $C$ no depende de diversas elecciones (de parámetros, funciones, u otra cosa). No es en absoluto raro que $A>B$ y $A\lesssim B". // Supongo que casi cualquier símbolo funciona si se agrega una explicación, pero ninguno funciona sin una.
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Siempre hago $$a = b\, (1+\epsilon)$$ con $\epsilon \geq 0$ para indicar que puede ser igual o mayor pero en un sentido relativo. Como en un 3% más, o un 5% más.
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@JoonasIlmavirta Gracias por el (contra)ejemplo. Debería haber agregado que ninguno de los símbolos se usa ampliamente, por lo que se esperaría que se definieran en contextos donde se utilizan.
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Si estás dispuesto a definir tus propias notaciones (intuitivas, pero no estándar, tendrías que introducirlas primero), considera cosas como $a=b^+$ o $a=b^- también.
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@dxiv, ¿entonces crees que $A \lessapprox B$ es una afirmación más fuerte que $A \leq B? Esto parece intuitivo.
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@jwg. Sí, mi entendimiento de lego es que es una afirmación más sólida. Pero tex.stackexchange.com podría ser un buen lugar para preguntar. Estos símbolos son casi nunca usados, por lo que hay mucho margen para malinterpretaciones.
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Puede que tengas que improvisar o innovar un nuevo símbolo.. $ {\approx}{\ge},\, {\approx}{\le}$
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Digo que los símbolos dados por @dxiv podrían ser usados, pero por supuesto con una explicación la primera vez. Igual que $\ll$ debería tener una explicación. O cualquier otra notación inusual.