¿Es posible definir la contabilidad sin referirse a los números naturales?

Question

Cantor definió los conjuntos contables como

Un conjunto es contable si existe una función inyectiva del conjunto al conjunto de los números naturales.

Todavía hoy la contabilidad se define casi siempre con las palabras de Cantor. ¿Son realmente necesarios los números naturales para definir la contabilidad? La mayoría de los matemáticos admiten que la teoría de conjuntos sigue siendo un tema rico de estudiar sin entrar en la concepción de los números. Y creo que la noción de contabilidad es más fundamental que el propio conjunto de los números naturales. De ahí que me pregunte si es posible definir la contabilidad sin referirse a los números naturales.

Dejemos que $A$ sea un conjunto y que $S:A\rightarrow A$ sea una función sucesora que se caracteriza por las siguientes propiedades.

1. Dos elementos diferentes en $A$ no pueden tener el mismo sucesor.

2. El sucesor de un elemento no debe ser su antecesor.

¿Debo definir los conjuntos contables como se indica a continuación?

Un conjunto es contable si existe una función sucesora como la caracterizada anteriormente.

Answer 1

Sí, se puede. Dependiendo de las herramientas disponibles.

1. Un conjunto $A$ es contable si y sólo si siempre que $B\subseteq A$ y $|B|<|A|$ entonces $B$ es finito. Si quieres que lo contable se refiera sólo a conjuntos infinitos, entonces también puedes añadir que hay un subconjunto propio de $A$ que es equipotente con $A$ .

   Ahora, podrías argumentar que la finitud depende de los números naturales, pero no te preocupes, Tarski te tiene cubierto: $X$ es finito si y sólo si el orden parcial $(\mathcal P(X),\subseteq)$ está bien fundado.

2. Un conjunto $A$ es contable si y sólo si puede ordenarse linealmente de forma que cada segmento inicial propio sea finito. De nuevo, si sólo te interesan los conjuntos infinitos, añade el requisito de que no haya ningún elemento maximal.

Answer 2

Dos juegos son equipotente si existe una biyección entre ellas.

Un conjunto es finito si admite un ordenamiento total en el que cada subconjunto no vacío tiene un elemento menor y un elemento mayor; en caso contrario es infinito .

(Como alternativa, un conjunto $A$ es infinito si el conjunto $\mathcal P(\mathcal P(A))$ es equipotente a un subconjunto propio de sí mismo).

Un conjunto es contable (finito o contablemente infinito) si todos sus subconjuntos infinitos son equipotentes.

Answer 3

No, eso no funciona. Aunque se añada la condición de que haya un elemento (que represente $0$ ) que no es el sucesor de nada), la definición seguiría afirmando que, por ejemplo $$ (\mathbb R \setminus \mathbb Z) \cup \mathbb N $$ es contable, simplemente definiendo "sucesor" como el habitual $x\mapsto x+1$ .

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Lo que la teoría de conjuntos moderna (desde principios del siglo XX) en realidad no depende directamente de los números naturales:

1. Un conjunto $A$ se llama inductivo si $\varnothing \in x$ y para cada $x\in A$ sostiene que $x\cup\{x\}\in A$ también.

2. Hay un axioma explícito de la teoría de conjuntos que promete que existe al menos un conjunto inductivo.

3. El intersección de todos los conjuntos inductivos se llama $\omega$ .

4. Un conjunto se llama "contable" si está en correspondencia biyectiva con (algún subconjunto de) $\omega$ .

Resulta que los elementos de $\omega$ son buenos candidatos para representando a los números naturales dentro de la teoría de conjuntos, por lo que normalmente acabamos definiendo $\mathbb N$ para ser un nombre alternativo para $\omega$ -- pero la contabilidad no depende realmente del número de $\omega$ de los elementos. (No le importa aritmética por ejemplo).

Answer 4

Un conjunto $S$ es contable si $S$ inyecta en cada conjunto $T$ que inyecta de forma no subjetiva en $T$ .

Básicamente, $S$ es contable si $S$ no es mayor que cualquier conjunto infinito.

Un conjunto es contable si existe una función sucesora como la caracterizada anteriormente.

Henning Makholm Ya se ha explicado por qué esto es incorrecto, pero quiero señalar que es porque no se obtuvo una equivalencia . Si un conjunto es contable, entonces existe una función sucesora como tú dices, pero lo contrario no se cumple.

Answer 5

Si estás trabajando en una teoría constructiva, entonces los conceptos de denumerable ( contable ) y enumerable recursivamente ( semidecidible ) coinciden exactamente, por lo que se puede evitar la referencia directa a los números naturales de esa manera.

Ciertamente, si un conjunto es recursivamente (computable) enumerable, entonces es contable. Un simple algoritmo de recuento que da como resultado los miembros del conjunto puede utilizarse para demostrar este hecho. Por supuesto, esto funciona incluso en un entorno clásico.

Ahora bien, si un conjunto es contable, entonces la construcción (en algún sistema formal) de su función característica proporciona un algoritmo para decidir el conjunto, por la correspondencia Curry-Howard. Por tanto, el conjunto es recursivo. (La correspondencia Curry-Howard, en virtud de ser un isomorfismo, puede usarse también para mostrar la inversa, pero yo quería mostrar que la inversa se mantiene incluso en una teoría clásica, según lo anterior).