PDF de una suma de variables dependientes

Question

Esta es una continuación directa de mi reciente pregunta. Lo que quiero conseguir es el de la distribución de $a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ donde $a,b,c,d$ son uniformes en $[0,1]$. Ahora, la distribución de $(a-d)^2+4bc$ fue correctamente calculada en el mencionado hilo, y vamos a llamar a $h(x)$. La distribución de $\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ es simplemente $h(x^2)\cdot 2x$. El último paso sería calcular la distribución de la suma de $X=a+d$ $Y=\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ en una manera similar a la anterior, pero $X$ $Y$ no son independientes, y ahora estoy atascado y no sabes ni por donde empezar.

Puede ser útil tener en cuenta que $\sqrt{(a-d)^2+4bc}=\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}$ y en el segundo de los componentes debajo de la raíz (es decir, $X^2=(a+d)^2$$W=-4(ad-bc)$) son fáciles de calcular. Entonces, estoy interesado en la distribución de $X+\sqrt{X^2+W}$, a sabiendas de las distribuciones de $X$$\sqrt{X^2+W}$.

No veo ningún cambio útil de las variables. Pensé acerca del uso de la probabilidad condicional, pero ¿cómo puedo encontrar a $f(\sqrt{X^2+W}\Big|X)$? Puede que yo sea demasiado adelante y tal vez tenemos que retroceder un par de pasos.

Es incluso posible calcular algo como esto?

La distribución resultante debería tener este aspecto:

EDIT: El aceptado respuesta da la solución que estaba buscando, sin embargo, todavía estoy curioso cómo obtenerlo analíticamente. Quiero decir, en mi anterior pregunta el CDF fue dada como una integral:

$\int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy$

con $F$ $g$ dada por funciones simples. Teóricamente, podría haber integrado el uso de lápiz y papel. Por supuesto, el uso de software es natural. Sin embargo, todavía estoy curioso cómo dar una forma cerrada respuesta aquí. wolfies respuesta suena una campana, pero... Una convolución de tres archivos pdf de una (relativamente) complicado función?

Answer 1

Encontrar el pdf de: $\quad A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}, \quad $ donde $A,B,C,D$ son iid $Uniform(0,1)$

Deje $U = 4 BC$ donde $U$ pdf: $\quad g(u) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{4}{u}\right) \quad \text{for } 0<u<4$.

Esto reduce el problema de 4 a 3 variables aleatorias independientes. Luego, por la independencia, la articulación pdf de $(A,D,U)$$f(a,d,u)$:

Deje $Z = A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}$. La cdf de $Z$$P(Z<z)$:

donde yo estoy usando el Prob función de la mathStatica paquete de Mathematica para automatizar la nitty-gritties.

El pdf de $Z$ es simplemente la derivada de la última wrt $z$, lo que lleva a la solución:

Todo hecho.

Aquí está una parcela de la exacta teórico pdf de $Z$:

Monte Carlo de verificación

El siguiente diagrama compara empírico de Monte Carlo aproximación de los pdf (onduladas de color azul) el teórico pdf derivados de arriba (roja discontinua). Se ve bien.

Answer 2

Justo después de leer wolfies respuesta comprendí que podía calcular la distribución final desde el principio sin el punto medio de pasos:

M[x_] := M[x] = Evaluate@FullSimplify@ Integrate[ Boole[a + d + Sqrt[(a - d)^2 + 4 b c] <= x], {a, 0, 1}, {b, 0, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}] da la CDF y

m[x_] := m[x] = Evaluate@FullSimplify@D[M[x], x] da el PDF que funciona perfecto con mi simulación:

Este utiliza directamente el enfoque de una respuesta a mi pregunta anterior.