Suponga que $f$ es un delimitada y función derivable en a $(0,1)$. Si $f({1\over 2})=0$, demostrar que la ecuación, $$2f(x)+xf'(x)=0,$$ tiene al menos una raíz en $(0,{{1}\over{2}})$.
Traté de hacerlo usando el Teorema de Rolle. Debido a que el lado izquierdo de la ecuación se parece a la derivada de alguna función. Y si me encuentro con una función de $F$ s.t. $F'(x)=2f(x)+xf(x)$ $F(0)=F({1\over 2})$ , entonces puedo usar el Teorema de Rolle para obtener la conclusión. He encontrado $F$, que es $$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt+xf(x),$$ s.t. $F'(x)=2f(x)+xf(x)$, pero el único problema es que no puedo pedir $F(0)=F({1\over 2})$.
Puede alguien me da una pista acerca de este problema?
